Use LEFT and RIGHT arrow keys to navigate between flashcards;
Use UP and DOWN arrow keys to flip the card;
H to show hint;
A reads text to speech;
36 Cards in this Set
- Front
- Back
- 3rd side (hint)
|
Kolmogorov féle valószinűségi mező |
(Omega, A, P) Kolmogorov féle valoszinusegi mezo: , ha : 1., Omega nemüres halmaz 2., A az Omega részhalmazainak szigma algebrája 3., P fv A-et lekepezi a [0,1] -ra, amely teljesiti a következő feltételeket: 1.,P(OMEGA)=1; 2., P re igaz a szigma additivitás.: Ha Ai sorozat elemei páronként kizáró események : P(A1 U A2 U....) = P(A1)+P(A2)+...
|
A halmaz 3 elemenek magyarázata + az utolso 2 jellemzoje |
|
|
KLASSZIKUS\KOMBINATORIKUS valószínűségi mező |
(Omega, A, P) veges val.mező. 1., Omega (e1, e2,... , en) 2.,Minden i,j kisebb n-re . p(elemi.es.i)=p(elemi elemi.es.j). Ebbol kovetkezik h minden A esemenyre : P(A)= k/n. 3., A = U(i:eiEA) ei (véges valószínűségi mező) |
Veges |
|
|
Teljes esemenyrendszer def |
Esemenyek A1, A2, ... Sorozata teljes esemenyrendszert alkot, ha egymast kizarjak, es egyesitesuk az Omega. Legtobbszor veges elemszamu teljes esemenyrendszert vizsgalunk. Tulajdonsaga: P(1)+P(2)+P(3)+...=1 |
Mi ez, altalaban melyik tipusat hasznaljuk, tulajdonsaga. |
|
|
Szigma algebra |
1., Omega eleme ennek az A szigma algebranak 2., Zart komplementer kepzesre 3., Ervenyesul a szigma additivitas (páronként kizáró eseményekre, a P(A1UA2U...U An U...)=P(A1)UP(A2)..
|
|
|
|
Teljes valoszinuseg tetele |
B1, B2, ... Pozitiv(!!a Bi-vel való osztás miatt!) valószinűségű eseményrendszer és A e F. Ekkor P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+..… Biz. A=(AMB1)U(AMB2)U... diszjunkt tagok. --- tehát teljesul P szigma additivitasa. Es P(AMBi)=P(A|Bi)P(Bi) |
|
|
|
Poincarré formula |
P(A1+A2+A3+A4......)=S1-S2+S3-...+(-1)^n*Sn Ahol S1=az egyenkenti valszinusegek osszege S2 = azbosszes lehetseges kettes kombinaciok metszeteineknosszege . . . |
Szita |
|
|
Felteteles valoszinuseg |
A esemény valoszinusege, tudván hogy B bekovetkezik:
P(A|B)=P(AB)/P(B) P(B) POZITIV |
|
|
|
Bayes tetel/formula |
Megcsereli az ok okozatot. A kerdes: mennyire volt hatassal A esemeny bekovetkeztere Bk esemeny.
Legyen B1, B2, B3... Poz valoszinusegu teljes esemenyrendszer. Ekkor P(Bk|A)=P(A|Bk)P(Bk)/ teljes val adta keplet a nevezoben.
|
|
|
|
Visszatevéses mintavétel |
N termék, M selejtes n elemű visszatevéses mintavétel A: pontosan k selejtes van a mintéban p=M/N P(A)= (n alatt a k)p ad k(1-p)ad (n-k) |
|
|
|
visszatevés nelkuli minavétel |
N termék, M selejtes n elemű visszatevés nélküli mintavétel A (pontosan k selejtes van) P(A)= (Mből kiválasztunk k-t)(N-Mből n-k)/N ből n-t |
|
|
|
Valószínűség folyonossága |
Állítás: Ha Ai eleme A (i=1,2,....) és A1nek részhalmaza A2-nek részhalmaza A3-nak részhalmaza A4.... akkor A = i=1... vlgtelenig az Ai halmazok metszete jelöléssel lim N tart végtelenre P(An)=P(A) |
|
|
|
(Diszkrét) valószínűségi változó szórásnégyzete kiszámítása 3 tulajdonság |
várható értéktől vett átlagos négyzetes eltérés
D ad2(X)=E( (X- E(X)) ad 2)
kiszámítása szórásnégyzet= E(Xnégyzet)-EnégyzetX
Tulajdonság: 1., mindig nagyobb = 0
2.,Dnégyzet(aX+b) = a négyzetDnégyzet(X)
3., E(X)ből nem következik hogy a szórásnégyzet is véges )bizonyítás ellenpéldával |
|
|
|
Diszkrét valószínűségi változók várható értéke + 6 példa |
A p_i = P(x=x_i) eloszlással megadott valószínűségi változó várható értéke E:= p_ix_i + p_2x_2+... ha a sor abszolút konvergens 1., elfajult = c 2., p valgű indikátor : p 3., binomiális: np 4., hipergeometrikus : nM/N 5., Poisson : Lamda 6., Pascal: 1/p |
|
|
|
abszolút folyt valószínűségi változók várható értéke |
E(X) = végtelen, minusz végtelen Integrál yf_x(y)dy, ha az integrél létezik. 1., X egyenletes zárt a,b Intervallumon : E(X) = (a+b)/2 2., X exponenciális Lambda paraméterrel: 1/Lambda 3., Standard normális : 0 |
|
|
|
Pascal(geometriai) eloszlás + E(X) + E(x négyzet) + szórásnégyzet |
p(1-p)(ad k-1)
E(X) = 1/p
E(X négyzet) =
szórásnégyzet = (1-p)/pnégyzet |
|
|
|
Poisson eloszlás E(X) és szórásnégyzet
melyik eloszlásból következik a Possion |
(Lambda ad k szor e ad (-lambda))/ k!
E(X) = Lambda szórásnégyzet = Lambda E(X négyzet) = Lambda négyzet + Lambda |
|
|
|
(n, p) paraméterű binomiáis eloszlás E(X) E(X ad 2) D ad 2(X) |
(n alatt a k)p ad k (1-p)ad (n-k) E(X) = np E(Xad2) = n(n-1)p ad2+np Szórásnégyzet : np(1-p) |
|
|
|
konvolúció plusz a nevezetes eloszlások konv formája |
fgtln változók összegének eloszlása
diszk: P(X+Y=k)=szumma i=0...k P(X=i)P(Y=k-i) folyt:f_X+Y(z)= integrál (végtelen, minusz végtelen) f_X(u)f_Y(z-u)du
diszkrét plk: 1., (m,p) (n,p) binomiális : (n+m, p) paraméterű bin 2.,
folyt: 1., exponenciális Lambdaad2 z e ad (-Lambda z) 2., 3.,normális : (m1, szigma1), (m2,szigma2) = (m1+m2, gyök (szigma1ad2 +szigma2 ad 2) |
|
|
|
val változó eloszlása |
Q_x(B):=P {w:X(w)eleme B} az X eloszlása. val mérték (R, B(R))-en |
|
|
|
definíció: sűrűsfüggvény + 2 tulajdonsága |
ha létezik fm hogy előáll f integrálfv-eként: F(z) = - végtelen ... z Integrál f(t)dt akkor azt mondjuk, hogy F abszolút folytonos f sűrűségfüggvénnyel. 1., f nagyobbegyenlő mint 0 2., -végtelen... végtelen Integrál f(t)dt = 1. |
|
|
|
kovariancia def, kiszámítása + pár tulajdonsága |
cov(X,Y):= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
kiszámítása:cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) |
|
|
|
korreláció deiníciója R(X, aX+b) = ? |
R(X,Y) = cov(X,Y)/D(X)D(Y)
tul 1., ha X, Y fgtln R(X,Y)= 0. 2., X vagy Y elfajult : R(X,Y)= 0. 3., R(X, aX+b) = 1. cov (X, aX+b) =aDnégyzet( X) 4., R(X,Y) abszolút értéke mindig < = mint 1 5., R absz értéke pontosan akkor 1 ha, X = aY+b. 5., 1 fontos tulajdonság itt még hiány
|
|
|
|
2, illetve n esemény föggetlenségének definíciója |
2 esemény független ha P(A metszet B)= P(A)P(B) n esemény független ha P(Ai1 M Ai2 M...Aik)= P(Ai1)P(Ai2)... P(Aik) Minden 1Kisebbegyenlő i1 kisebb i2 kisebb... ik kisebbegyenlő n indexsorozatra minden kettőnél nagyobb egyenlő és n -nél kisebb egyenlő számra. |
|
|
|
diszkrét val változó |
Ha értékkészlete legfeljebb megszámlálható |
|
|
|
diszkrét val változó eloszlása |
{w:X(w)=x_i}={X=x_i } eleme A halmazrendszer pi:= P(X=x_i)
ezek meg is határozzák X eloszlását |
|
|
|
Diszkrét val változók fgtlnsége |
P({X=x_i}M{Y=y_k}=P(X=x_i)P(Y=y_k) Minden i,k-ra Az Xhez Yhoz tartozó teljes eseményrendszer fgtln. Mj: Az elfajult val változó minden val változótól fgtln Önmagától csak az elfajult val változó fgtln. |
|
|
|
hipergeometrikus val változó E(X)=? Dnégyzet(X)=? |
P(X=k)= (M alatt a k)(N-M alatt az n-k)/ (N alatt az n) E(X) =nM/N Dnégyzet(X)= (nM(N-M)(N-n))/(Nad2(N-1)) |
|
|
|
generátor fv definíció és tulajdonságok |
g_X(z):= E(z adX)= P(X=0)+zP(X=1)+z ad2 P(X=2)+... |
|
|
|
Borel - Cantelli lemmák |
Ha A_1, A_2, ... események és i=1... végtelenig SZUMMA P(A_i) kisseb mint végtelen.
Ekkor P(limsup An)=0.
Ebben az esetben 1 valószínűséggel csak véges sok következik be.
MEGFORDÍTTÁS: Ha Omega = a 0-1 intervallum An = 0..1/n intervallum (P = "hosszúság" ) P(limsupAn)=0, de 1-végtelen SZUMMA P(Ai) = végtelen
tehát A B-C lemma csak akkor megfordítható, ha kikötjük, hogy az események fgtln-ek.
2. Borel - Cantelli lemma: ekkor 1-végtelen SZUMMA P(Ai)= végtelen esetén P(limsupAn)=1.
ebben az esetben egy valószínűséggel végtelen sok esemény következik, |
|
|
|
gyenge konvergencia definíciója |
Az X_n tart X-hez gyengén , ha az eloszlásfv -eikre teljesül hogy F_n(z) tart F(z) az F minden folytonossági pontján. |
|
|
|
1 valószínűségű (m.m.) konvergencia |
ha P {w: X_n tart X} = 1. az 1 valószínűségű konvergenciából következik a sztochasztikus amiből következik a gyenge konvergencia |
|
|
|
Markov egyenlőtlenség |
g(x) = x ha x nagyobb = mint 0 P(X nagyobb = c) kisebb = mint E(X)/c g(x) = abs(x) |
|
|
|
Markov típusú egyenlőtlenségek |
P(X nagyobb = c) kisebb = E(g(x))/g(c) |
|
|
|
Csebisev egyenlőtlenség |
g(x) = x, X helyett (X-EX)ad 2 P((X-EX)ad2 nagyobb = c ad 2) kisebb = E(X-EX)ad2 / c ad2 |
|
|
|
Sztochasztikus konvergencia |
X_n -> X, ha Minden epszilon, delta > 0-hoz létezik olyan n_0, hogy minden n>n_0 esetén P(|X_n - X| > = epsilon) < = delta. |
|
|
|
konvergencia L2-ben |
X_n tart X L2-ben ha ahogy n tart végtelen E(Xn-X) tart 0 |
|
