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58 Cards in this Set
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Loi normale (continue) |
X~N(μ ; σ^2)
Avec μ = E(X) σ : écart-type
Y = aX + b Y~N(aμ+b ; a^2σ^2) |
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Loi centrée réduite |
Z = (X - μ) / σ Z~N(0;1) |
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Variance |
V(X) = E(x^2) - (E(X))^2 |
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Fonction d'une loi normale |
f(x) = exp(-0,5((x-μ)/σ)^2) / (σ.rac(2π)) |
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Fonction de densité |
∫f(x).dx = 1 |
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Espérence d'une fonction de densité |
E(x) = μ = ∫x.f(x).dx |
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Variance d'une fonction de densité |
V(X) = E(x^2) - (E(X))^2 V(X) = ∫(x^2 .f(x).dx) - (∫(x.f(x).dx)^2 |
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Fonction d'une loi uniforme |
f(x) = | 1/(b-a) si x∈ [a;b] | 0 sinon |
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Espérence d'une loi uniforme |
E(X) = (a+b) / 2 |
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Variance d'une loi uniforme |
V(X) = (b-a)^2 / 12 |
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Loi Binomiale (discrète) |
Répétion n fois d'une expérience de Bernouilli X~B(n;p)
Avec X : nombre de succès n : nombre d'épreuve p : probabilité du succès |
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Probabilité d'une loi binomiale |
P(X=x) = (x parmi n).p^x .q^(n-x) |
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Espérence d'une loi binomiale |
E(X) = np |
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Variance d'une loi binomiale |
V(X) = npq |
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Loi de poisson (discrète) |
X ~ P (k, λ)
Avec λ : nombre de succès moyen k : nombre de succès moyen par unité de temps |
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Probabilité d'une loi de poisson |
P(X=x) = (exp(-λ).λ^x) / x! |
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Espérence d'une loi de poisson |
E(X) = λ = k.T |
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Fonction d'une loi exponentielle |
f(x) = | k.exp(-k.x) si x >= 0 | 0 sinon |
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Espérence d'une loi exponentielle |
E(X) = 1/k |
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Variance d'une loi exponentielle |
V(X) = 1/k^2 |
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Variance d'une loi de poisson |
V(X) = λ |
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Loi exponentielle (continue) |
Y : temps d'attente entre deux succès d'une loi de poisson
Y~expo(k) |
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Écart-type |
σ(X) = rac(V(X)) |
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Loi de Bernouilli |
X~B(p) |
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Probabilité d'une loi de Bernouilli |
P(X=0) = q = 1-p P(X=1) = p |
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Espérence d'une loi de Bernouilli |
E(X) = p |
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Variance d'une loi de Bernouilli |
V(X) = p.q |
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Loi géométrique |
X : nombre d'épreuve nécessaire pour obtenir un 1er succès X~G(p) |
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Probabilité d'une loi géométrique |
P(X=x) = q^(x-1).p |
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Espérence d'une loi géométrique |
E(X) = 1/p |
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Variance d'une loi géométrique |
V(X) = q/p^2 |
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Loi Binomiale négative |
n épreuves pour obtenir le kième succès |
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Probabilité d'une loi Binomiale négative |
P(X=n) =((k-1)parmi(n-1)).p^(k).q^(n-k) |
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Espérence d'une loi Binomiale négative |
E(X) = k/p |
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Variance d'une loi Binomiale négative |
V(X) = (k.q)/p^2 |
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Somme des V.A. normales et indépendantes |
X1+X2~N(μ1+μ2 ; σ1+σ2) X1-X2~N(μ1-μ2 ; σ1+σ2) |
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Mode |
Valeur la plus fréquente |
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Premier quartile |
Q1 = | (n/4) ème valeur si (n/4) entier | ent((n/4)+1) ème valeur sinon |
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Troisième quartile |
Q3 = | (3n/4) ème valeur si (3n/4) entier | ent((3n/4)+1) ème valeur sinon |
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Étendue |
E = valeur max - valeur min |
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Variance d'un échantillon |
s^2 = Σ(xi)^2 - n.X̅^2) / (n-1) |
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Coefficient de variation |
Cv = (5 / X̅) * 100 |
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Écart moyen |
Ecart moyen = Σ|xi - X̅| / n |
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Approximation d'une loi binomiale en loi normale |
X~B(n;p) Si n>=30 et np>5 => X~N(np;npq) |
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Variance d'un échantillon |
V(X̅) = V(X) / n
Avec V(X) : variance de la population n : taille de l'échantillon |
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Ecart type d'un échantillon |
σ(X̅) = σ(X) / rac(n)
Avec σ(X) : ecart type de la population n : taille de l'échantillon
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Variable centrée réduite d'un échantillon (population suivant une loi normale, μ et σ connus) |
Z = (X̅- μ) / (σ/rac(n))
Avec X̅ : variable aléatoire d'échantillonnage μ : moyenne de la population σ : ecart-type de la population n : taille de l'échantillon
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Variable centrée réduite d'un échantillon (n>=30, μ et σ inconnus) |
Z = (X̅ - X̅ ) / (S/rac(n))
Avec X̅ : variable aléatoire d'échantillonnage X̅ : moyenne de l'échantillon S : ecart type de l'échantillon n : taille de l'échantillon |
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Loi de Student |
P (T > tα;v) = α Avec α : Erreur d'estimation v = n - 1 |
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Intervalle de confiance d'une moyenne |
μ ∈ [X̅- zα/2.σ/rac(n); X̅- zα/2.σ/rac(n)] |
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Variable centrée réduite d'une proportion |
Z= (p_barre - p) / rac((p(1-p)/n))
Avec p_barre : proportion de l'échantillon p : proportion de la population |
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Intervalle de confiance d'une proportion |
p ∈ [p_barre - zα/2.rac((p_barre(1-p_barre)/n)) ; p_barre + zα/2.rac((p_barre(1-p_barre)/n))]
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Test unilatéral à gauche |
H0 : μ = μ H1 : μ < μ0 On rejette H0 si z<-zα |
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Test bilatéral |
H0 : μ = μ0H1 : μ != μ0 On rejette H0 si z<-zα/2 ou z>zα/2
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Test unilatéral à droite |
H0 : μ = μ0 H1 : μ > μ0 On rejette H0 si z>zα |
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Erreur de première espèce |
P(Rejeter H0|H0 vraie) |
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Erreur de 2e espèce |
P(accepter H0| H1 vraie) |
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Intervalle de confiance d'une variance |
σ^2 ∈ [(v.S^2)/('khi'^2 ) ; (v.S^2)/('khi'^2 )] |
