Lie Gruppen Und Lie Algebren

Front 1

Lie Gruppe

Back 1

Eine Liegruppe ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Gruppenoperationen (m und inv) glatt sind

Front 2

Satz von Cartan (closed subgroup theorem)

Back 2

Sei G eine Liegruppe und H<G eine abgeschlossene Untergruppe in G. Dann ist H eine Liegruppe in der induzierten Topologie als eingebettete Untermannigfaltigkeit von G.

Front 3

Lie Algebra

Back 3

Eine (reale) Liealgebra L ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen mit einer bilinearen Abbildung (Lie Klammer):

[•,•]: L×L➡L

(X,Y)☛[X,Y]

sodass für alle X, Y, Z in L gilt:

[X, Y]= - [Y,X]

[X, [Y,Z]]+ [Y,[Z,X]]+ [Z, [X,Y]]= 0

Front 4

Sei G eine Liegruppe. Die Lie Algebra ğ von G

Back 4

ist TeG, wobei die Lieklammer induziert wird durch die Indentifikation mit Γ (TG) dem Vektorraum der linksinvarianten Vf.

Front 5

Seien G und H Lie Gruppen. Eine Abbildung ρ: G➡H ist ein Liegruppenhomomorphismus, falls:

Back 5

1. ρ eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten ist.

2. ρ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Front 6

Seien ğ und ų Lie Algebren. Ein Liealgebrenhomomorphismus

τ: ğ ➡ų ist eine Abbildung, sodass:

Back 6

1. τ ist linear und

2. τ([X,Y]) = [τ(X), τ(Y)] für alle X, Y in ğ.

Front 7

Eine (reale) Darstellung von einer Liegruppe G

Back 7

ist ein Liegruppenhomomorphismus ρ: G➡Gl (V).

wobei

Gl (V) = { A: V ➡ V | A ist ein linearer Isomorphismus}

Da V isomorph ist zu dem n-dim. VR über den reellen Zahlen, ist Gl (V) isomorph zu Gl (n, relle Zahlen).

Front 8

Sei ρ: G ➡ H ein Lie Gruppen Homomorphismus.

Back 8

Dann gilt δρ: TeG ➡ TeH ist ein Lie Algebren Homomorphismus.

Front 9

Sei G eine Lie Gruppe. Eine Untermenge H von G ist eine Lieuntergruppe, falls:

Back 9

1. H ist eine abstrakte Untergruppe von G

2. H ist eine Lie Gruppe

3. Die Inklusion ι: H ↪ G ist eine Immersion.

Front 10

Sei f: M ➡ N eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten. f heißt Immersion genau dann wenn,

Back 10

für alle p in M

dfp: TpM ➡ Tf(p)N

injektiv ist.

Front 11

Sei f: M ➡ N eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Der Rang von f ist der Rang von df|p. p in M ist ein regulärer Punkt, genau dann wenn

Back 11

Rang (df|p)= dim (N)

↔ df|p ist surjektiv

Front 12

Sei f: M ➡ N eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Der Rang von f ist der Rang von df|p. q in N ist ein regulärer Wert, genau dann wenn

Back 12

Für alle p in inv (f)(q) gilt:

p ist ein regulärer Punkt.

Front 13

Sei f: M ➡ N eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Der Rang von f ist der Rang von df|p. f heißt Submersion genau dann wenn gilt:

Back 13

Für alle p in M gilt p ist ein regulärer Punkt bzw. df|p ist surjektiv für alle p in M.

Front 14

Sei f: M ➡ N eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Der Rang von f ist der Rang von df|p.

Sei q ein regulärer Wert von f:

Back 14

So ist H = inv (f)(q)={p in M|f (p)=q }

eine Untermannigfaltigkeit mit

dim (H) = m-n.

Front 15

Eine topologische Gruppe G ist:

Back 15

Ein topologischer Raum, der eine Gruppe ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Gruppenoperationen kontinuierlich sind.

Front 16

Ein toplogischer Raum ist nicht zusammenhängend, wenn:

Back 16

Er eine Vereinigung von zwei disjunkten, nicht leeren, offenen Mengen ist.

Ist dies nicht der Fall ist er zusammenhängend.

Front 17

Ein zusammenhängender, topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn:

Back 17

T ist wegzusammenhängend und jede Abbildung

f: (S1, 1) ➡ (T, *) ist homotopisch trivial.

Front 18

Sei Y ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von Y ist ein topologischer Raum X zusammen mit einer kontinuierlichen Abbildung

p: X ➡ Y , sodass:

Back 18

Für jedes y in Y eine Umgebung U von y existiert, sodass

inv(p)U = ㅛ Uα (Vereinigung paarweise disjunkter Mengen), wobei Uα für alle α offen in X liegen und p|Uα ein Homöomorphismus ist.

Falls X einfach zusammenhängend ist, spricht man von einer universellen Überlagerung.

Jede zusammenhängende Liegruppe hat eine universelle Überlagerung.

Front 19

Sei G eine zusammenhängende und einfach zusammenhängende Lie Gruppe mit Lie Algebra ğ und sei U eine Liegruppe mit Lie Algebra ų. So gilt:

Back 19

Existiert ein Lie Algebren Morphismus

τ: ğ ➡ ų

dann existiert ein eindeutiger Liegruppen Morphismus

ρ: G ➡ H, sodass δρ = τ.

Front 20

Sei G eine Liegruppe mit Liealgebra ğ. Dann existiert eine Abbildung

γ×: reelle Zahlen ➡ G mit den Eigenschaften:

Back 20

1. γ×(0) = 1, 1 in G

2. d/dt|(t=0) γ×(t) = X

3. γ×(s+t) = γ×(s) γ×(t)

Front 21

Sei G eine Liegruppe mit Liealgebra ğ. Definiere die Exponentialabbildung:

Back 21

exp: ğ ➡ G

exp (X) = γ×(1).

Front 22

Für alle X in ğ und t in den rellen Zahlen gilt:

Back 22

γtX (s) = γX (ts)

Front 23

Jede zusammenhängende Lie Gruppe G ist:

Back 23

Ein Quotient Ğ/N, wobei Ğ eine einfach zusammenhängende Lie Gruppe von der gleichen Dimension wie G ist und N eine zentrale, diskrete, normale Untergruppe von Ğ ist. Sowohl Ğ als auch N sind eindeutig bis auf Isomorphismus.

Front 24

Die adjungierte Darstellung einer Liegruppe G ist die Darstellung:

Back 24

Ad: G ➡ GL (ğ)

Ad (g) = (dcg )1

Wobei cg (a) = g•a•inv (g)

Da gilt cg (1) = 1 gilt (dcg )1 : ğ ➡ ğ

Front 25

Die adjungierte Darstellung einer Liealgebra ğ ist die Darstellung:

Back 25

ad: ğ ➡ gl (ğ) = Hom( ğ, ğ)

ad (X) = (d Ad)1 (X)

Front 26

Sei G eine Lie Gruppe. Dann gilt für alle X, Y in ğ:

Back 26

ad (X)Y = [X, Y]

Front 27

Eine Lieunteralgebra ñ von einer Liealgebra ğ ist ein Ideal, falls:

Back 27

[ğ, ñ] in ñ liegt.

Front 28

Sei N eine normale Lieuntergruppe von einer Liegruppe G (g•a•inv (g),für g in G und a in N, ist in N):

Back 28

Dann ist die Liealgebra ñ ein Ideal in ğ.

Front 29

g•exp(tX)•inv (g) =

Back 29

exp(t Ad (g)(X))

Front 30

Ad (exp (tX)) =

Back 30

exp ( t ad(X))

Front 31

Seien H und G Lie Gruppen und

f: H ➡ G ein kontinuierlicher Gruppenhomomorphismus.

Back 31

Dann ist f glatt.

Front 32

Sards Theorem: Sei f: M ➡ N eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten.

Back 32

Dann liegt die Menge der regulären Werte von f dicht in N.

Front 33

Angenommen eine Liegruppe G wirkt auf eine Mannigfaltigkeit M. Der Isotropiegruppe von x in M ist gegeben durch:

Back 33

Gx = { a in G |a•x = x}

Das Orbit von x in M ist gegeben durch:

G•x={ a • x| a in G }

Front 34

Sei H eine Liegruppe. Ein H-Hauptfaserbündel ist:

Back 34

Eine Mannigfaltigkeit P, ausgestattet mit einer Rechtsaktion, sodass:

1.) B= P/H eine glatte Mannigfaltigkeit ist und die Orbitabbildung π: P ➡ B eine Submersion ist.

2.) Für jedes b in B gibt es eine offene Menge U in B mit b in U und eine glatte Abbildung

ψ: inv (π)(U) ➡ U×H, sodass

1.) p1 ( ψ ( inv (π)(U))) = π (inv (π)(U))

2.) ψ (p•a) = ψ (p)•a für alle p in P und a in H, wobei H auf U×H wirkt durch (u, h)•a=(u, ha)

Front 35

Eine Unterdarstellung ist ein Unterraum W in V, sodass:

Back 35

Für jedes g in G und w in W gilt ρ(g)w ist in W. In anderen Worten W ist ein G invarianter Unterraum.

Front 36

Seien

ρ1: G ➡ GL(V1)

und

ρ2: G ➡ GL(V2)

zwei Darstellungen von G.

Back 36

Dann gilt:

ρ1🕀ρ2 : G ➡GL(V1🕀V2)

ρ1🕀ρ2 (g (v1 + v2)) = ρ1(g)v1 + ρ2 (g)v2

Front 37

Eine Darstellung ( real oder komplex) ist reduzierbar, falls:

Back 37

es keine nichtrivialen invarianten Unterräume gibt, d.h. falls W in V ist und ρ(g)W ist in W für alle g in G, muss gelten: Entweder W = { 0 } oder W = V.

Front 38

Eine komplexe Darstellung ρ ist unitär, falls ein hermitisches Innenprodukt existiert sodass:

Back 38

< ρ(g) v , ρ(g) w > = < v, w >

Front 39

Sei ρ: G ➡ GL (V) eine unitäre Darstellung. Somit ist ρ vollständig reduzierbar.

Back 39

Dann gilt ρ ist eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen.

Front 40

Eine Darstellung ρ: G ➡ GL(V) Ist vollständig reduzierbar, falls:

Back 40

es als eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen geschrieben werden kann.

Front 41

Jede komplexe Darstellung einer endlichen Gruppe G

Back 41

IIst unitär.

Front 42

Jede Darstellung einer kompakten Liegruppe ist:

Back 42

vollständig reduzierbar.

Front 43

Schur's Lemma

Back 43

Angenommen T1 und T2 sind zwei irreduzible Darstellungen und sei T in Hom ( V1 , V2 ). Dann ist entweder

T= 0 oder T ist ein Isomorphismus.

Front 44

Schur's Lemma (Version 2)

Back 44

Seien V1 und V2 zwei irreduzible Darstellungen. Angenommen V ist komplex. Dann gilt

HomG( V, V) ~ C (komplexe Zahlen).

Es gilt also: Sei T: V ➡ V eine äquivariante Abbildung, dann existiert λ in C, welches von T abhängt, sodass Tv = λv für alle v in V.

Front 45

Jede komplexe, irreduzible Darstellung einer kompakten abelschen Gruppe ist:

Back 45

1 dimensional.

Front 46

Eine topologische Mannigfaltigkeit d. Dimension n ist ein topologischer Raum M mit folgenden Eigenschaften:

Back 46

1.)M ist hausdorffsch: Für alle x, y in M, wobei x und y verschieden sind, existiert eine Umgebung Ux und eine Umgebung Uy, sodass der Durchnitt der Umgebungen die leere Menge ist.

2.) M ist zweitabzählbar: Es gibt eine höchstens abzählbare Menge von offenen Mengen, sodass jeder Punkt p in einer dieser Mengen liegt.

3.) M ist lokal homöomorph zum n dimensionalen VR über den reellen Zahlen.