Analyse 1 Na Tentamen

Front 1

Lengtes complexe getallen

Back 1

z • w = zw

Front 2

Hoeken complexe getallen

Back 2

z + w = zw

Front 3

Euler

Back 3

e^i(phi) = (cos(phi) + isin(phi))

Front 4

De Moivre

Back 4

(cos(phi) + isin(phi))^n) = cos(n(phi)) + isin(n(phi))

Front 5

Verdubbelingsformules vinden

Back 5

De Moivre gebruiken voor n=2, daarna de imaginaire gedeeltes aan elkaar gelijk stellen en de reëele gedeeltes ook.

Front 6

Wanneer bestaat een limiet?

Back 6

Een limiet van x naar a bestaat wanneer de limiet van boven naar a gelijk is aan de limiet van beneden naar a.

Front 7

Horizontale / schuine asymptoten

Back 7

Limiet van x naar oneindig nemen

Front 8

Verticale asymptoten

Back 8

Bijvoorbeeld noemer breuk of wortel niet gelijk aan nul.

Front 9

Insluitstelling

Back 9

Als 2 functies een limiet hebben met dezelfde waarde voor dezelfde ×,dan heeft even functie tussen deze 2 functies ook die limiet voor die x.

Front 10

Wanneer is een functie continu?

Back 10

Als de limiet van x naar a gelijk is aande waarde wanneer je a in de functie invult.

Front 11

Tussenwaardestelling

Back 11

Als de ene grenswaarde van een functie positief is en de ander negatief, dan heeft de functie een nulpunt op dat interval.

Front 12

Formule afgeleide

Back 12

Limiet van h naar 0, (f(a+h) - f(a))/(h)

Front 13

Volledige inductie

Back 13

P(1) is waar. Uit P(n) volgt P(n+1) waar.

Front 14

Standaard vorm raaklijn

Back 14

y = f'(x)(x-a) + f(a)

Front 15

Standaard vorm loodlijn

Back 15

y = -1/ (f'(X))(X-a) + f(a)

Front 16

cotangens cot

Back 16

1 gedeeld door tangens

Front 17

secans sec

Back 17

1 gedeeld door cosinus

Front 18

cosecans csc

Back 18

1 gedeeld door sinus

Front 19

Middelwaardestelling MWS

Back 19

Als de functie continu en differentieerbaar is, dan noemt deze op het interval een minimum en maximum aan.

Ook is er een c waarin de rc van de raaklijn gelijk is aande rc van de grenswaarden.

Front 20

Minimum

Back 20

Verder alles boven of gelijk aan m

Front 21

Maximum

Back 21

Verder alles onder of gelijk aan M

Front 22

Niet-dalend

Back 22

Als x < y, dan functie van x onder functie van y

Front 23

Niet-Stijgend

Back 23

Als x < y, dan functie van x boven functie van y

Front 24

Stelling van Rolle

Back 24

Als een functie continu en differentieerbaar op een interval met gelijke grenswaarden dan is ergens de afgeleide gelijk aan nul.

Front 25

( n boven k )

Back 25

( n!) / ((n - k)!k!)

Front 26

nul faculteit

Back 26

1

Front 27

Gegeneraliseerde MWS

Back 27

Functie f en g continu en differentieerbaar op domein a tot b, g(b) is niet g(a) en g'(x) is niet nul: dan is er een c zodat f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)).

Front 28

Wanneer is een functie differentieerbaar?

Back 28

1. f moet continu zijn: de limiet van boven naar c is de limiet van beneden naar c is f(c).

2. f' moet continu zijn: de limiet van boven naar c is de limiet van beneden naar c is f'(c). ( Denk hierbij aan de definitie van de afgeleide.)

Front 29

Algebraïsche functies

Back 29

Functies met machten.

Front 30

Transcendente functies

Back 30

Niet- algebraïsche functies

Front 31

Injectief

Back 31

Hoogstens 1 x voor elke y

Front 32

Surjectief

Back 32

Minstens 1 x voor elke y

Front 33

Bijectief

Back 33

Precies 1 voor elke y

Front 34

Voorwaarde voor het hebben van een inverse

Back 34

Strict monotoon, m.a.w. ofwel strict stijgend ofwel strict dalend

Front 35

Afgeleide van de inverse

Back 35

(f^ ( -1) ) ' (b) = 1 / f '(a), waarbij f(a)=b

Front 36

Domein waarop sinus injectief is

Back 36

- 1/2 pi tot 1/2 pi

Front 37

Domein waarop cosinus injectief is

Back 37

nul tot pi

Front 38

Domein waarop tangens injectief is

Back 38

-1/2 pi tot 1/2 pi

Front 39

Afgeleide van arcsin

Back 39

1 / (wortel ( 1 - x^2))

Front 40

Afgeleide van arccos

Back 40

- 1 / (wortel( 1 - x ^2))

Front 41

Afgeleide arctan

Back 41

1 / ( x^2 + 1 )

Front 42

cosh(x)

Back 42

(e^(x) + e ^( -x)) / 2

Front 43

sinh(x)

Back 43

( e^(x) - e^(-x)) / 2i

Front 44

tanh(x)

Back 44

sinh(x) / cosh(x)

Front 45

sech(x)

Back 45

1 / (cosh(x))

Front 46

csch(x)

Back 46

1 / (sinh(x))

Front 47

coth(x)

Back 47

1 / (tanh(x))

Front 48

Cos(x) in termen van e

Back 48

(e^(ix) + e^(-ix)) / 2

Front 49

Sin(x) in termen van e

Back 49

(e^(ix) - e^(-ix)) / 2i

Front 50

Afgeleide sinh(x)

Back 50

cosh(x)

Front 51

Afgeleide cosh(x)

Back 51

sinh(x) (niet -sinh(x)!!)

Front 52

Afgeleide tanh(x)

Back 52

1 / (cosh^2(x))

Front 53

Arsinh(x)

Back 53

ln(x + wortel(x^2 + 1))

Front 54

Arcosh(x)

Back 54

ln(x + wortel(x^2 - 1))

Front 55

Waar is cosh(x) injectief?

Back 55

Op [0, oneindig)

Front 56

Artanh(x)

Back 56

1/2 ln((1 + x )/(1 - x ))

Front 57

Afgeleide arsinh(x)

Back 57

1 / (wortel(x^2 + 1))

Front 58

Afgeleide arcosh(x)

Back 58

1 / (wortel(x^2 - 1))

Front 59

Afgeleide artanh(x)

Back 59

1 / ( 1 - x^2 )

Front 60

Eerste stap lineaire 2e orde homogene differentiaalvergelijking oplossen

Back 60

Gegeven my" + by' + cy = 0, bepaal karakteristieke vergelijking mx^2 + bx + c = 0. Bepaal de nulpunten a1 en a2

Front 61

Lineaire 2e orde homogene differentiaalvergelijking oplossing, wanneer a1 = a2.

Back 61

y = Ae^(a1t) + Be^(a1t)

Front 62

Lineaire 2e orde homogene differentiaalvergelijking oplossing, wanneer a1 is niet a2 maar wel beide in R.

Back 62

y = Ae^(a1t) + Be^(a2t)

Front 63

Lineaire 2e orde homogene differentiaalvergelijking oplossing, wanneer a1 is niet a2 en beide niet in R.

Back 63

a1 = d + fi, a2 = d - fi

y = Ae^(dt)cos(ft) + Be^(dt)sing(ft)

Front 64

Stelling van De L'Hôpital

Back 64

Als de limieten van x naar a van functies f en g beiden gelijk aan 0 zijn, dan is

lim(x naar a) f/g = lim(x naar a) f' / g'

Front 65

3 typen lokale maxima/minima

Back 65

1. randpunten

2. kritieke punten waar de afgeleide gelijk is aan nul

3. singuliere punten waar f niet differentieerbaar is

Front 66

Het vinden van maxima en minima:

Back 66

- verzamel alle randpunten, kritieke punten en singuliere punten

- maak een tekenschema van de afgeleide formule

Front 67

Convex

Back 67

ConVex, dus dal ding. f" > 0 en f is continu

Front 68

Concaaf

Back 68

ConcAAf, dus berg ding. f" < 0 en f is continu

Front 69

Buigpunt

Back 69

Convex gaat over in concaaf of andersom, f" = 0

Front 70

Kritieke punten: hoe vind je ze en wanneer is het een max of min?

Back 70

- f' = 0

- als f" > 0, dan minimum

- als f" < 0, dan maximum

Front 71

Formule schuine asymptoot

Back 71

lim(x naar oneindig) (f(x) - ax - b) = 0

of

lim(x naar -oneindig)(f(x) - ax - b) = 0

Front 72

Lineaire benadering

Back 72

f(x) ~ f(a) + f'(a)(x - a) als x voldoende dicht bij a

Front 73

N-de orde benadering / Taylorpolynoom

Back 73

P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + 1/(2!)f"(a)(x - a)^2 + ... + 1/(N!)f^(N)(x - a)^N

Front 74

Fout bij benadering

Back 74

Volgende term, dus 1/((N + 1)!)f^(N + 1)(x - a)^(N + 1)

Front 75

Taylorreeks rond x = 0 van e^x

Back 75

1 + 1/(1!)x + 1/(2!)x^2 + 1/(3!)x^3 + ...

Front 76

Taylorreeks rond x = 0 van 1/(1 - x)

Back 76

1 + x + x^2 + x^3 + ...

Front 77

Taylorreeks rond x = 0 van cos(x)

Back 77

1 - 1/(2!)x^2 + 1/(4!)x^4 - 1/(6!)x^6 + ...

Front 78

Taylorreeks rond x = 0 van sin(x)

Back 78

x - 1/(3!)x^3 + 1/(5!)x^5 - 1/(7!)x^7 + ...

Front 79

Verschil Taylorpolynoom / Taylorreeks

Back 79

Een Taylorreeks eindigt op ... en een Taylorpolynoom eindigt op O.

Front 80

Supremum

Back 80

Kleinste getal M zo dat x <= M voor alle x op het interval

Front 81

Infimum

Back 81

Grootste getal m zo dat x >= m voor alle x op het interval

Front 82

Primitieve van 1/x

Back 82

ln|x| + c

Front 83

Primitieve van e^x

Back 83

e^x + c

Front 84

Primitieve van 1/(wortel(1 - x^2))

Back 84

arcsin(x) + c

Front 85

Primitieve van 1/(wortel(1 + x^2))

Back 85

arctan(x) + c

Front 86

Primitieve van cos^2(x)

Back 86

1/2x + 1/2sin(x)cos(x) + c

Front 87

Primitieve van sin^2(x)

Back 87

1/2x - 1/2sin(x)cos(x) + c

Front 88

Primitieve van 1/(cos^2(x))

Back 88

tan(x) + c

Front 89

Primitieve van ln(x)

Back 89

xln(x) - x + c

Front 90

Primitieve van a^x

Back 90

a^x * 1/(ln(a)) + c

Front 91

Primitieve van ^alog(x)

Back 91

(xln(x) - x) * 1/(ln(a)) + c

Front 92

Primitieve van 1/(wortel(a^2 - x^2))

Back 92

arcsin(x/a) + c

Front 93

Primitieve van 1/(wortel(a^2 + x^2))

Back 93

1/a * arctan(x/a) + c

Front 94

Substitutiemethode

Back 94

F(x) = integraal(f(u(x)) * u'(x)

Front 95

Productregel voor integralen

Back 95

f(x)g(x) = integraal(f'(x)g(x)) + integraal(f(x)g'(x))

Front 96

Convergentie / Divergentie

Back 96

Als de limiet van een oneigenlijke integraal bestaat, heet deze convergent. Als de limiet niet bestaat, heet deze divergent.

Front 97

Oneigenlijke integraal:

Back 97

- minstens 1 van de grenzen is +/- oneindig

- minstens 1 van de grenzen is niet gedefinieerd

Front 98

Inhoud omwentelingslichaam

Back 98

integraal van a tot b van (pi * (f(x))^2)

Front 99

Booglengte

Back 99

integraal van a tot b van (wortel(1 + (f'(x))^2)

Front 100

Oppervlakte omwentelingslichaam

Back 100

2pi * (integraal van a tot b van (f(x) * (wortel(1 + (f'(x))^2)))

Front 101

Seperabele differentiaalvergelijkingen

Back 101

dy/dx = f(x)g(y)

integraal(1/g(y)) = integraal(f(x))

Front 102

Rijen

Back 102

Geordende aftelbare verzameling: a1, a2, a3, ..., an

notatie: {an}^(oneindig)_(n=1)

Front 103

Reeksen

Back 103

a1 + a2 + a3 + ... + a_n

notatie: sommatie^(oneindig)_(n=1) a_n

Front 104

Machtsreeksen

Back 104

sommatie^(oneindig)_(n=1) a_n(x - a)^n

Front 105

Fourierreeksen

Back 105

sommatie^(oneindig)_(-oneindig) C_n * e^(inx)

of

a_0 + sommatie^(oneindig)_(-oneindig) (a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))

Front 106

Rekenkundige rijen

Back 106

a_n = a + n * b

Front 107

Meetkundige rijen

Back 107

a_n = b * a^n

Front 108

Monotone rij

Back 108

Ofwel stijgende ofwel dalende rij

Front 109

Begrensde rij

Back 109

Er is een M zo dat |a_n| <= M voor alle n

Front 110

Alternerende rij

Back 110

a_n * a_(n+1) < 0

m.a.w. + - + - + of - + - + -

Front 111

Het integraalkenmerk

Back 111

f : [1, oneindig) een naar nul dalende functie, f continu

dan is de reeks van n=1 tot oneindig convergent d.e.s.d. als de integraal van 1 tot oneindig van f convergeert

Front 112

Vergelijkingskenmerk

Back 112

als a_n <= b_n en b_n convergeert, dan convergeert a_n ook

als a_n divergeert, dan divergeert b_n ook

Front 113

Limietcriterium

Back 113

als a_n, b_n >= 0; als b_n convergeert en als lim(n naar oneindig) a_n / b_n bestaat

dan convergeert a_n ook

Front 114

Verhoudingstest / d'Alembert

Back 114

als a_n > 0 en als lim(n naar oneindig) a_(n+1) / a_n bestaat:

- lim < 1 dan a_n convergent

- lim > 1 dan a_n divergent

- lim = 1 geen uitsluitsel

Front 115

Worteltest / Cauchy

Back 115

als a_n > 0 en lim(n naar oneindig) n-de wortel(a_n) bestaat:
- lim < 1 dan a_n convergent

- lim > 1 dan a_n divergent

Front 116

Kenmerken, criteria en testen bij reeksen met alleen maar negatieve termen

Back 116

verander sommatie^N_(n=1) a_n naar -sommatie^N_(n=1)(-a_n)

Front 117

Absolute convergentie

Back 117

als |a_n| convergeert en a_n ook

Front 118

Voorwaardelijke convergentie

Back 118

als a_n convergeert, maar |a_n| niet

Front 119

Criterium voor alternerende reeksen

Back 119

a_n = (-1)^n * b_n of a_n = (-1)^(n+1) * b_n

als b_n > 0 en b_n >= b_(n+1) voor alle n groot genoeg én lim(n naar oneindig) b_n = 0

dan convergeert a_n

Front 120

Voor welke x convergeert een machtsreeks (sommatie^(oneindig)_(n=0) a_n * (x - b)^n)

Back 120

|x - b| < R, dan convergeert de reeks

|x - b| > R, dan divergeert de reeks

Front 121

Convergentiestraal

Back 121

R = 1/(lim(n naar oneindig) |a_(n+1)/a_n|)

= 1/ (lim(n naar oneindig) n-de wortel(|a_n|))

waarbij de eerste makkelijker is maar de tweede sowieso bestaat.

Front 122

Stelling van Abel

Back 122

als a_n convergeert, dan convergeert a_n * x^n voor |x| < 1.

Er geldt sommatie^(oneindig)_(n=1) a_n = lim(x naar 1 van onderen) sommatie^(oneindig)_(n=1) a_n * x^n