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10 Cards in this Set
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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL *131 *132 *133 *134
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FACTORES
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Ejemplo En a*a+b=a²+ab "a" y "a+b" son los factores de a²+ab FACTOREAR Significa transformar una suma o resta de productos en un producto de sumas o restas. Ejemplo Teniendo una serie de sumas x²+5x+6 se factorea cuando se transforma esa expresión algebraica en un producto indicado así (x+2)*(x+3). FACTOREAR UN MONOMIO Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Ejemplo 15ab=3*5*a*b IMPOSIBILIDAD DE FACTOREAR CIERTOS POLINOMIOS Hay polinomios que son solo divisibles por ellos mismo y por la unidad. Ejemplo a+b es divisible solo por a+b y por 1. |
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FACTOR COMÚN *135
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10b-30ab²
se extrae el mayor factor que sea común a los términos. En este caso en ambos términos hay multiplicaciones que tienen como factor común al 10 y a la b 10b() luego se crea el otro factor encerrado entre paréntesis de modo que reproduzca la expresión original 10b(1-3ab)=10*b*1-10*b*3*a*b=10b-30ab² |
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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO *136*137*138*139*140 |
A²+2AB+B² = (A+B)² Es un trinomio cuadrado perfecto ya que el primer término esta elevado al cuadrado, el tercer término también está elevado al cuadrado y el segundo término es el producto de 2 por el primer término por el tercer término. Para hallar resultado se extrae la raíz del primer término y la raíz del tercer término, (para hallar la raíz cuadrada de un término que esta elevado a un exponente cualquiera, se divide dicho exponente entre 2). El signo en (A+B)² lo da el segundo término. Nota: El primer término y el tercer término pueden intercambiarse en el resultado (A+B)² = (B+A)² y(A-B)² = (B-A)². Ejemplo (5-2)² = 3² = 9 (2-5)² = (-3)² = 9 |
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SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES (INCLUYE CASO 4: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS, CASO 9: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS) *141*142*154*155*156*157 |
Ver cociente notable en http://www.cram.com/flashcards/algebra-06-productos-y-cocientes-notables-4663828 Lo que se hace es pasar el denominador posible* hacia el otro lado de la igualdad como primer factor y construir el otro factor de acuerdo al cociente notable. *(de acuerdo a las posibilidades de divisibilidad vistas en la página 121 al final del capítulo 7) Ejemplo A³+B³ es divisible (según las posibilidades de divisibilidad) entre A-B y el cociente de esta fracción (A³+B³) / (A-B) = A²-AB+B². Como el divisor multiplicado por el cociente reproduce el dividendo se tiene que: A³+B³ = (A-B) * (A²-AB+B²) Recordar que cuando en el denominador interviene una resta, el cociente está formado por sumas, pero si en el denominador interviene una suma, el cociente está formado por sumas y restas intercaladas comenzando el primer término en suma. |
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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION O SUSTRACCION |
SOLO COVIENE HACERLO cuando el término del medio está elevado al cuadrado o a un exponente par como en el ejemplo. (A^4+A²B²+B^4) +A²B² -AB =(A^4+2A²B²+B^4)-A²B² = (A+B)²-A²B² queda una diferencia de cuadrados. Si se observa que para formar un trinomio cuadrado perfecto solo hace falta sumar o restar un término, se hace. Hay que restar o sumar el mismo término para no alterar la igualdad. |
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TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c *145*146*147 |
CONDICIONES El primer término tiene que estar elevado a cualquier exponente PAR, el segundo término tiene que ser la raíz CUADRADA del primer término acompañada por cualquier coeficiente y el tercer término tiene que ser cualquier número independiente del primer término. CALCULO x²+5x+6 Se escriben dos paréntesis que van a ser los factores. ()() El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término. (x)(x) Luego se coloca en el primer paréntesis el signo del segundo término. (x+)(x) En el segundo paréntesis se coloca el signo de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. (x+)(x+) Si los signos de los paréntesis son iguales, se busca dos números que SUMADOS den el coeficiente del segundo término y multiplicados den el tercer término. (x+3)(x+2) Si los signos de los paréntesis son diferentes, se busca dos números que RESTADOS den el coeficiente del segundo término y multiplicados den el tercer término. Por ejemplo si el polinomio hubiese sido x²+5x-6... (x+6)(x-1) RECORDAR Siempre colocar el número mayor en el primer paréntesis. Cuando los números sean muy grandes y se dificulte hallarlos, descomponer el tercer término en sus factores primos y combinar dichos factores primos para hallar el coeficiente del segundo término. Para más información revisar la página 160. |
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TRINOMIO DE LA FORMA ax²+bx+c *148*149 |
6x²-7x-3 Similar al caso anterior pero el primer término tiene un coeficiente. Se multiplica todo el polinomio por el coeficiente. 6*6x²-7*6x-6*3 = (6x)²+7(6x)+18 Nota: Armar el segundo término para que un coeficiente acompañado de la raíz del primer término. Luego se procede a factorear el polinomio... (6x-9)(6x+2) Ahora hay que dividir el resultado de la factorización por el mismo coeficiente para dejar inalterada la igualdad [(6x-9)(6x+2)] / 6 Como ninguno de los dos factores es divisible por 6, descomponemos el 5 en 3x2 y luego dividimos el 6x-9 entre 3 y el 6x+2 entre 2 quedando (2x-3)(3x+1) |
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CUBO PERFECTO DE BINOMIOS *150*151*152*153 |
A³+3A²B+3AB²+B³ = (A+B)³ Es un cuatrinomio al cubo perfecto ya que el primer y el cuarto término están elevados al cubo; el segundo término es el producto de 3 por el primer término elevado al cuadrado por el cuarto término; y el tercer término es el producto de 3 por el primer término por el cuarto término elevado al cuadrado. Para hallar resultado se extrae la raíz del primer término y la raíz del cuarto término, (para hallar la raíz cúbica de un término que esta elevado a un exponente cualquiera, se divide dicho exponente entre 3). El signo en (A+B)³ lo da el segundo término y el cuarto término (AMBOS). |
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CASOS DE FACTOREO |
1. FACTOR COMUN
2B+3B² = B(2+3B) 2. FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS A(B+1)-B-1 = A(B+1)-(B+1) = (B+1)(A-1) 3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO A²+2AB+B² = (A+B)² 4. 9. 10. SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES (A^n ± B^n) = (A ± B)[(A-1)±(A-2)(B)±(A-3)(B+1)...] 5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION O SUSTRACCION A²+AB+B² +AB -AB = (A²+2AB+B²)-AB = (A+B)²-AB 6. 7. TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c x²-bx+c = (x-?)(x-?) 8.CUBO PERFECTO DE BINOMIOS A³+3A²B+3AB²+B³ = (A+B)³ |
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DESCOMPOSICIÓN POR EVALUACIÓN *160 |
1) Se buscan los factores positivos y negativos del término independiente del polinomio. Ejemplo En el polinomio x³+2x²-x-2 el término independiente es 2 cuyos factores son ±(1,2) 2) Mediante la división sintética se intenta encontrar cual de los factores resulta en una división exacta. 3) Cuando se halla dicho número, se construye un polinomio de la forma x-a y se construye el otro polinomio con los coeficientes resultantes de la división sintética. Recordar que el cociente es de un grado inferior al polinomio que se está dividiendo. Ejemplo Luego de realizar la división sintética se halla que x³+2x²-x-2 = (x-1)(x²+3x+2) Para terminar de factorizar se puede aplicar a lo que queda cualquiera de los casos estudiados o nuevamente descomposición por evaluación. Notas 1) Se suele comenzar los intentos con los números más pequeños. Si un número sirve para un factoreo del polinomio, puede servir para otro factoreo sucesivo del mismo polinomio. Pero si un número no sirve para un factoreo del polinomio, debe eliminarse como posibilidad para sucesivos factoreos del mismo polinomio. 2) Truco, si todos los coeficientes son positivos, necesariamente el número a intentar debe ser negativo. 3) Verificar al realizar sucesivos factoreos del mismo polinomio mediante éste método, si los factores siguen siendo los mismos o no. 4) Recordar completar con ceros los términos que falten. 5) También se puede intentar con las fracciones que se forman al dividir los factores del coeficiente principal entre los factores del término independiente. La factorización queda compuesta por dos factores: el primero es el cociente obtenido mediante el método de evaluación y el segundo es el divisor de tipo x-a/b que antes era bx-a. IMPORTANTE: Esto de destruir la operación se realiza solo a la hora de obtener un cociente real, sin embargo para factorizar un polinomio no debe hacerse ya que el divisor (dividido) multiplicado por el cociente (multiplicado) da como resultado el dividendo. Si se llegara a dividir el cociente para destruir la operación, habría que multiplicar el cociente para que al multiplicarlos, resulte el dividendo. Para más info revisar *100 ejemplo 4 o visitar: http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/gauss/fgauss.htm |
