Algebra 07 Teorema Del Residuo

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POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL *97

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Un polinomio es entero cuando no tiene letras en el denominador. Un polinomio es racional cuando no tiene raíz inexacta.

Ejemplo
x³+5x²-3x+4 es un polinomio entero y racional.

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TEOREMA DEL RESIDUO *99

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El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma x-a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por la a.

Ejemplo

Sea x = 1
Residuo de x+5/x+2=6/3=2

2 es el residuo de x+5/x+2

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NOTAS

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Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por la notación P(x) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se escribe P(a).
Cuando se tiene un polinomio divisor de la forma bx+a o bx-a se divide el polinomio divisor entre b para que quede x+a/b o x-a/b, luego se puede reemplazar en el polinomio dividendo para obtener el residuo. Si +a/b o –a/b se utiliza para dividir, hay que recordar que se dividió el polinomio divisor entre b por lo que el cociente queda multiplicado por b, para destruir esa operación basta con dividir el cociente entre b. La división del polinomio divisor entre b no afecta al residuo pero si afecta al cociente.

IMPORTANTE: Esto de destruir la operación se realiza solo a la hora de obtener un cociente real, sin embargo para factorizar un polinomio no debe hacerse ya que el divisor (dividido) multiplicado por el cociente (multiplicado) da como resultado el dividendo. Si se llegara a dividir el cociente para destruir la operación, habría que multiplicar el cociente para que al multiplicarlos, resulte el dividendo.

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DIVISIÓN SINTÉTICA ENTRE UN POLINOMIO DE FORMA X-A *100

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Dividir x³-5x²+3x+14 entre x-3.
Se disponen los coeficientes uno al lado del otro. El primer coeficiente 1 se baja y se multiplica por el opuesto de -3, osea 3. El resultado se lo coloca debajo del segundo coeficiente -5 y se suman -5+3=-2. Se multiplica -2 por 3 nuevamente. El resultado se coloca debajo del tercer coeficiente 3 y se suman 3+(-6)=-3. Se multiplica -3 por 3 nuevamente. El resultado se coloca debajo del cuarto coeficiente 14 y se suma 14-9=5. Este último número es el residuo. Los demás resultados son los coeficientes del cociente. El grado del cociente sera inferior en una unidad al grado del dividendo, en este caso el grado del dividendo era 3 así que el grado del cociente es 2 y tenemos 1x²-2x-3 como cociente y 5 como residuo.

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DIVISIBILIDAD ENTRE X-A *101

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Un polinomio entero en x que se anula para x=a, osea sustituyendo en él la x por a, es divisible por x-a ya que el residuo es cero. También es divisible por los múltiplos de x-a.

Ejemplo
Hallar, sin efectuar la división, si x³-4x²+7x-6 es divisible por x-2.
Este polinomio será divisible por x-2 si se anula para x=+2.
Sustituyendo la x por 2, tendremos:
2³-4(2)²+7(2)-6=8-16+14-6=0
luego es divisible por x-2.

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FACTORIZANDO CON DIVISIÓN SINTÉTICA *101

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Se halla una raíz "a" del polinomio, es decir, un número que haga al polinomio igual a 0. Con ese número se arma un divisor x-a y se procede con la división sintética hasta hallar el cociente. Como todo dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, el polinomio original se puede expresar como producto del divisor x-a con el cociente.

Ejemplo
Teniendo el polinomio x+2 hallamos una raíz del polinomio, en este caso el polinomio se anula con x=-2: -2+2=0. Con esta raíz se arma un divisor x-(-2) y se procede con la división sintética que devuelve el cociente 1. Como todo dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, el polinomio original x+2 se puede expresar como producto del divisor x-(-2) con el cociente 1
x+2=x-(-2)*1

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CONDICIÓN NECESARIA PARA LA DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO EN X POR UN BINOMIO DE LA FORMA X-A

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Es condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por un binomio de la forma x-a, que el término independiente del polinomio sea múltiplo entero del término a del binomio, sin tener en cuenta los signos. Así, el polinomio 3x⁴+2x³-6x²+8x+7 no es divisible por el binomio x-3, porque el término independiente del polinomio 7, no es divisible por el término numérico del binomio, que es 3.
Esta condición no es suficiente, es decir que aún cuando el término independiente del polinomio sea divisible por el término a del binomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por el binomio x-a.

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COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES *95

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Siendo n un número entero y positivo, se verifica la imágen.