Aritmética 42 Transformación, Comparación Y Propiedades De Las Proporciones Geométricas

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VARIACIONES DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA *658

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Se puede hacer intercambio de término en cruz

Ejemplo
10/5=30/15 intercambiando los cuatro términos 15/30=5/10

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COMPARACIÓN DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS *659 *660 *661 *662

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PROPORCIONES CON RAZÓN COMÚN
Si dos proporciones tienen una razón común, las razones restantes forman proporción geométrica.

A/B = C/D y A/B = E/F entonces C/D = E/F

Ejemplo
2/4=1/2 y 5/10=1/2 entonces 2/4=5/10


PROPORCIONES CON ANTECEDENTES IGUALES
Si dos proporciones geométricas tienen los antecedentes iguales, entonces los consecuentes de dichas proporciones pueden formar una proporción geométrica.

A/B = C/D y A/E = C/F entonces B/D = E/F

Ejemplo
1/2=3/6 y 1/4=3/12 entonces 2/6=4/12


PROPORCIONES CON CONSECUENTES IGUALES
Si dos proporciones geométricas tienen los consecuentes iguales, entonces los antecedentes de dichas proporciones pueden formar una proporción geométrica.

A/B = C/D y E/B = F/D entonces A/C = E/F

Ejemplo
1/2=3/6 y 4/2=12/6 entonces 1/3=4/12


MULTIPLICACIÓN DE PRIMERAS RAZONES Y SEGUNDAS RAZONES DE VARIAS PROPORCIONES
Al multiplicar las primeras razones de varias proporciones y las segundas razones de varias proporciones resulta en una proporción producto.

A/B=C/D * A'/B'=C'/D' * A''/B''=C''/D'' entonces A*A'*A''/B*B'*B''=C*C'*C''/D*D'*D''

Ejemplo
2/4=3/6 * 4/16=3/12 * 3/15=2/10 entonces 2*4*3/4*16*15=3*3*2/6*12*10

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PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS *664 *665* 666 *667 *668 *669

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OPERACIONES PERMITIDAS *664
Con los términos de una proporción geométrica pueden verificarse las operaciones siguientes, sin que la proporción varíe:
1) Multiplicar o dividir todos los términos en ambos miembros por un mismo número.
2) Multiplicar o dividir en ambos miembros los antecedentes por un mismo número.
3) Multiplicar o dividir en ambos miembros los consecuentes por un mismo número.
4) Multiplicar o dividir los dos términos de una de las razones por un mismo número.
5) Elevar todos los términos a una misma potencia.
6) Extraer a todos los términos una misma raíz.

Nota: Para más información revisar el libro.


RESUMEN DE PROPIEDADES
PROPIEDAD *665
Siendo A/B = C/D entonces (A+B)/B = (C+D)/D
Siendo A/B = C/D entonces (A-B)/B = (C-D)/D
Siendo A/B = C/D entonces (A+B)/A = (C+D)/C
Siendo A/B = C/D entonces (A-B)/A = (C-D)/C

PROPIEDAD *666
Siendo A/B = C/D entonces (A+C)/(B+D) = A/B = C/D
Siendo A/B = C/D entonces (A-C)/(B-D) = A/B = C/D

PROPIEDAD *667
Siendo A/B = C/D entonces (A+B)/(A-B) = (C+D)/(C-D)
Siendo A/B = C/D entonces (A-B)/(A+B) = (C-D)/(C+D)

PROPIEDAD *668
Siendo A/B = C/D entonces (A+C)/(A-C) = (B+D)/(B-D)
Siendo A/B = C/D entonces (A-C)/(A+C) = (B-D)/(B+D)

Nota: Todas las propiedades aplican para cualquier cantidad de razones.


PROPIEDAD *665
Si en ambos miembros se suma o resta el antecedente con el consecuente y luego se dividen entre el antecedente o entre el consecuente, se mantiene la igualdad.

Siendo A/B = C/D entonces (A+B)/B = (C+D)/D
Siendo A/B = C/D entonces (A-B)/B = (C-D)/D
Siendo A/B = C/D entonces (A+B)/A = (C+D)/C
Siendo A/B = C/D entonces (A-B)/A = (C-D)/C

Ejemplos
Siendo 10/5=4/2 entonces (10+5)/5=(4+2)/2
Siendo 10/5=4/2 entonces (10+5)/10=(4+2)/4


PROPIEDAD *666 *669
Si en un solo miembro, se suman o se restan todos los antecedentes y luego se dividen entre la suma o la resta de todos los consecuentes, se mantiene la igualdad con cualquiera de las razones.

Siendo A/B = C/D entonces (A+C)/(B+D) = A/B = C/D
Siendo A/B = C/D entonces (A-C)/(B-D) = A/B = C/D

Ejemplo
Siendo 1/2=3/6 entonces (1+3)/(2+6)=1/2=3/6
Siendo 1/2=3/6 entonces (1-3)/(2-6)=1/2=3/6


PROPIEDAD *667
Si en ambos miembros se suma el antecedente con el consecuente y luego se dividen entre la diferencia del antecedente con el consecuente, se mantiene la igualdad.

Siendo A/B = C/D entonces (A+B)/(A-B) = (C+D)/(C-D)
Siendo A/B = C/D entonces (A-B)/(A+B) = (C-D)/(C+D)

Ejemplo
Siendo 12/2=6/1 entonces (12+2)/(12-2)=(6+1)/(6-1)
Siendo 12/2=6/1 entonces (12-2)/(12+2)=(6-1)/(6+1)


PROPIEDAD *668
Si en un miembro se suman los antecedentes y luego se dividen entre la diferencia de los antecedentes; mientras que en el otro miembro se suman los consecuentes y luego se dividen entre la diferencia de los consecuentes, se mantiene la igualdad.

Siendo A/B = C/D entonces (A+C)/(A-C) = (B+D)/(B-D)
Siendo A/B = C/D entonces (A-C)/(A+C) = (B-D)/(B+D)

Ejemplo
Siendo 12/2=6/1 entonces (12+6)/(12-6)=(2+1)/(2-1)
Siendo 12/2=6/1 entonces (12-6)/(12+6)=(2-1)/(2+1)