Aritmética 01 Nociones Sobre Conjuntos

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UNIDAD *24

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Una sola cosa.

Ejemplo
Una persona, un libro, una silla.

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PLURALIDAD, CONJUNTO Y ELEMENTO *25

Back 2

Las pluralidades son magnitudes discontinuas (lo medible que se refiere al número indeterminado de elementos identificables) y los conjuntos son las cantidades correspondientes a esas magnitudes.

Ejemplo
La pluralidad de libros (magnitud) y el conjunto de los libros de mi biblioteca (cantidad).

ELEMENTO
Es cada uno de los entes que integran un conjunto. Pueden ser materiales o inmateriales.

Ejemplo
El libro azul, el libro verde y el libro rojo son elementos del conjunto de libros de mi biblioteca.

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POSTULADO FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA *25

Back 3

A todo conjunto se le puede añadir o quitar uno de sus elementos. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas.

Front 4

CLASES DE CONJUNTOS *27

Back 4

CONJUNTO HOMOGÉNEO Y HETEROGÉNEO
En un conjunto homogéneo los elementos son de la misma especie, en un conjunto heterogéneo los elementos son de diferente especie. Un mismo conjunto podría ser considerado homogéneo o heterogéneo de acuerdo al criterio que se escoja.

Ejemplo
10 lapices y 5 reglas. El criterio se fija en este caso para útiles escolares, por lo tanto es homogéneo.


CONJUNTO ORDENABLE Y NO ORDENABLE
Un conjunto es ordenable cuando puede fijarse un criterio de ordenación que permita determinar la posición de un elemento con respecto a los demás. Un conjunto no es es ordenable cuando no se puede fijar ningún criterio de ordenación.

Ejemplos
Los alumnos de un curso se podrían ordenar por su estatura, es un conjunto ordenable. Las moléculas de un gas están en constante movimiento y no se puede establecer una ordenación entre ellas.


CONJUNTO FINITO E INFINITO
Un conjunto es finito cuando se pueden considerar cada uno de sus elementos en un tiempo determinado. Un conjunto es infinito cuando considerar cada uno de sus elementos no tiene fin.

Ejemplos
Son conjunto finito los alumnos de cierta escuela. Son conjunto infinito los puntos de una recta, las rectas que pueden pasar por un punto, los diámetros de una circunferencia.


CONJUNTO DE ELEMENTOS NATURALES Y DE ELEMENTOS CONVENCIONALES
Conjunto de elementos naturales son las cantidades discontinuas, los elementos son perfectamente identificables de un modo natural. Conjunto de elementos convencionales son las cantidades continuas, los elementos han sido seccionados artificialmente.

Ejemplos
Conjuntos de elementos naturales serían los lápices de una caja o los empleados de una oficina.
Conjuntos de elementos convencionales serían ciertas longitudes de recta, ciertos intervalos de tiempo, ciertas áreas de figuras.


CONJUNTOS IGUALES, PARCIALES Y NO IGUALES
Los conjuntos son iguales cuando todo elemento de un conjunto esté también en el otro conjunto. Son parciales cuando tengan al menos un elemento en común. Son no iguales cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo
(en imagen)

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COORDINACIÓN ENTRE ELEMENTOS *28 *29

Back 5

Dos conjuntos son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca o perfecta, de modo que a cada elemento del primer conjunto corresponda uno y sólo un elemento del segundo conjunto, y a cada elemento del segundo conjunto corresponda uno y sólo un elemento del primer conjunto. A los conjuntos coordinables se les llama también equivalentes. A los elementos coordinados se los llama elementos homólogos.

Ejemplo
En una sala de una casa hay tres personas y tres sombreros, cuando se van cada persona se lleva un sombrero y cada sombrero es llevado por una persona, se dice que el conjunto de personas tiene correspondencia biunívoca o perfecta con el conjunto de sombreros.


CONJUNTOS NO COORDINABLES
Cuando entre dos conjuntos no puede establecerse una correspondencia biunívoca porque sobran elementos de uno de los conjuntos, los conjuntos son no coordinables.

Ejemplo
Si en una clase entra un conjunto de alumnos y después de ocupar todas las sillas del aula quedan algunos alumnos de pie, el conjunto de los alumnos no es coordinable con el conjunto de sillas del aula.

Front 6

POSTULADOS SOBRE LA COORDINACIÓN DE CONJUNTOS *30

Back 6

1) Si a cada uno de dos conjuntos coordinables (a cada elemento del primer conjunto corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto y viceversa) se añade o suprime un elemento, los conjuntos que resultan siguen siendo coordinables.

Ejemplo
(primer postulado en imagen)


2) Dados dos conjuntos finitos, o son coordinables o uno de ellos es coordinable con parte del otro.

Ejemplo
Teniendo un conjunto de pomos y un conjunto de tapas, si se intenta colocar una tapa a da pomo pueden suceder tres cosas: A) Cada pomo tiene una tapa (los conjuntos son coordinables). B) Se tapan algunos pomos, pero faltan tapas (una parte del conjunto de pomos es coordinable con el conjunto de tapas). C) Se tapan todos los pomos, pero sobran tapas (el conjunto de pomos es coordinable con una parte del conjunto de tapas).


3) Si dos conjuntos finitos están coordinados de cierta manera, la coordinación siempre será posible de cualquier modo que se ensaye.

Ejemplo
(en imagen algunas posibilidades de coordinación).

COROLARIO
Si dos conjuntos finitos no son coordinables de un cierto modo, la coordinación nunca será posible, cualquiera que sea el modo de ensayarla.

Ejemplo
Si hay un conjunto de lápices en un aula y se reparte uno a cada alumno, pero al final quedan varios alumnos sin lápices, el conjunto de lápices no es coordinable con el conjunto de alumnos; aunque se repartieran de otro modo, siempre faltarán lápices.

Front 7

PROPIEDADES DE LA COORDINACIÓN DE CONJUNTOS *31

Back 7

PROPIEDAD DE IDENTIDAD
Todo conjunto es coordinable con sí mismo.

Ejemplo
Un grupo de monos puede coordinarse con sí mismo de modo que a cada mono le corresponda uno y sólo un mono.


PROPIEDAD RECÍPROCA
Si un conjunto es coordinable con otro, ese otro conjunto es coordinable con el primero.

Ejemplo
Si un conjunto de flores es coordinable con un conjunto de floreros, el conjunto de floreros es coordinable con el conjunto de flores.


PROPIEDAD TRANSITIVA
Si un conjunto es coordinable con otro, y peste es coordinable con un tercero, el primero es coordinable con el tercero.

Ejemplo
Si un conjunto de lapiceras es coordinable con un conjunto de gomas y el conjunto de gomas es coordinable con un conjunto de capuchones, entonces el conjunto de lapiceras es coordinable con el conjunto de capuchones.

Front 8

SUCESIÓN FUNDAMENTAL DE CONJUNTOS *32

Back 8

Es la serie o sucesión de conjuntos finitos en la cual cada conjunto tiene un elemento más que el conjunto anterior. Añadiendo un elemento al conjunto al que se quiera considerar como el último, se obtiene un conjunto mayor siguiente. Como en esta sucesión no hay dos conjuntos que sean coordinables entre sí, cada conjunto es coordinable solo consigo mismo.

Front 9

EL NÚMERO NATURAL *33 *34

Back 9

Es un concepto abstracto que simboliza la propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí.

Ejemplo
Un conjunto con dos cajas es coordinable con el conjunto A, B de la sucesión fundamental de conjuntos. Estos conjuntos tienen la propiedad común de estar compuestos por dos elementos, el dos es entonces el concepto abstracto que simboliza la propiedad común a estos conjuntos coordinables entre sí.


ESCOLIO
Las palabras uno, dos, tres, ... y los signos 1, 2, 3, ... son medios que utilizamos para expresar y representar los números naturales, pero no son los números.

Front 10

OPERACIÓN DE CONTAR *35

Back 10

Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de los números naturales comenzando por el 1.

Ejemplo
(en imagen) Para contar las letras de la palabra latino coordinamos el conjunto de letras con el conjunto de los números naturales del 1 al 6.

Front 11

OPERACIÓN DE MEDIR *36

Back 11

Medir es comparar dos cantidades homogéneas (de la misma magnitud). Una de las cantidades se utiliza como unidad de medida y la otra cantidad es la que se mide. Las unidades de medida de las cantidades continuas no son naturales, sino convencionales.

Ejemplo
Llevamos la longitud de una soga sobre la longitud de una mesa, las comparamos y observamos que la longitud de la soga cabe tres veces en la longitud de la soga. Aquí se ha medido al comparar las dos cantidades homogéneas tomando como unidad de medida la longitud de la soga.

Front 12

NÚMEROS ABSTRACTOS Y CONCRETOS *37

Back 12

El número abstracto es el número propiamente dicho. El número concreto hace referencia al resultado de un conteo o también de una medición.

Ejemplo
Número abstracto 3. Luego de contar limones resulta que hay 5 limones, "5 limones" es un número concreto.

Front 13

NÚMERO CARDINAL *39 *40

Back 13

Al contar, el número cardinal es el número que corresponde al último elemento de un conjunto, por lo tanto representa al conjunto.

Ejemplo
Si contamos las letras de la palabra "misil" contamos cinco letras que es el número que corresponde al último elemento del conjunto que contamos.


1) El número cardinal de un conjunto siempre es el mismo, cualquiera que sea el orden en que se cuenten sus elementos.

Ejemplo
Aunque contáramos las letras de la palabra "misil" de atrás hacia adelante, la última letra contada sería la número cinco.


2) Todos los conjuntos coordinables entre sí tienen el mismo número cardinal, cualquiera que sea la naturaleza de sus elementos o el orden de los mismos.

Ejemplo
Consideremos tres conjuntos: Pedro Rosa, lunes martes, azul rojo; todos estos conjuntos son coordinables entre sí y tienen el mismo cardinal dos.

Front 14

NÚMERO ORDINAL *41

Back 14

Indica el orden de un elemento dentro de un conjunto.

Ejemplo
Si se cuentan de izquierda a derecha las letras de la palabra cable, la letra b es la tercera.