Aritmética 12 División

Front 1

OBJETO DE LA DIVISIÓN *166 *167 *177

Back 1

Dado el producto de dos factores (dividendo) y dado uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

DIVIDENDO / DIVISOR = COCIENTE

Ejemplo
10/5=2

La división sería una resta abreviada en la cual, el divisor se resta del dividendo las veces que el cociente indique.

Ejemplo
10/5=2
el divisor 5 se resta del dividendo 10 las 2 veces que indica el cociente.

Front 2

EQUIVALENCIAS *166 *180

Back 2

DIVIDENDO = DIVISOR * COCIENTE

Ejemplo
10=2*5

DIVISOR = DIVIDENDO / COCIENTE

Ejemplo
5=10/2

COCIENTE = DIVIDENDO / DIVISOR

Ejemplo
2=10/5

Front 3

ALTERACIONES *187

Back 3

ALTERACIÓN DEL DIVIDENDO
Si el dividendo es multiplicado, el cociente es multiplicado; si el dividendo es dividido, el cociente es dividido.

A / B = C
( A * D ) / B = C * D
( A / D ) / B = C / D

Ejemplo
considerando 12/3=4
multiplicando el dividendo por dos (12*2)/3=4*2
resolviendo 24/3=8
verificando 8=8


ALTERACIÓN DEL DIVISOR
Si el divisor es multiplicado, el cociente es dividido; si el divisor es dividido, el cociente es multiplicado.

A / B = C
A / ( B * D ) = C / D
A / ( B / D ) = C * D

Ejemplo
considerando 12/3=4
multiplicando el divisor por dos 12/(3*2)=4/2
resolviendo 12/6=2
verificando 2=2


IN ALTERACIÓN DEL COCIENTE
El cociente no varia si tanto el dividendo como el divisor son multiplicados o divididos la misma cantidad.

A / B = C
( A * D ) / ( B * D ) = C
( A / D ) / ( B / D ) = C

Ejemplo
considerando 12/3=4
multiplicando tanto el dividendo como el divisor por dos (12*2)/(3*2)=4
resolviendo 24/6=4
verificando 4=4

Front 4

CASO PARTICULAR Ejercicio 51 subejercicios 26 y 28

Back 4

Si al dividendo se le suma o se le resta el divisor, el cociente aumenta o disminuye en una unidad.

( DIVIDENDO + DIVISOR ) / DIVISOR = COCIENTE + 1
( DIVIDENDO - DIVISOR ) / DIVISOR = COCIENTE - 1

Ejemplo
considerando 9/4=2,25
aumentando el dividendo en cuatro unidades (9+4)/4=2,25+1
calculando 13/4=3,25

Front 5

DIVISIÓN EXACTA *168 DIVISIÓN INEXACTA *170

Back 5

DIVISIÓN EXACTA
Existiría un cociente que al multiplicarlo con el divisor, resulta exactamente igual al dividendo. El dividendo sería múltiplo del divisor.

COCIENTE = NUMERO ENTERO

Ejemplo
10/5=2
el 10 conteniendo exactamente al 5, dos veces.


DIVISIÓN ENTERA O INEXACTA
No existiría un número entero (cociente) que al multiplicarlo con el divisor, resulta exactamente igual al dividendo. El dividendo no sería múltiplo del divisor.

COCIENTE ≠ NUMERO ENTERO

Ejemplo
9/4= número racional (2,25)

Front 6

COCIENTE POR DEFECTO Y COCIENTE POR EXCESO *171 RESIDUO POR DEFECTO *172 RESIDUO POR EXCESO *173 SUMA DE RESIDUOS *174 TRANSFORMACIÓN DE DIVISIÓN INEXACTA A DIVISIÓN EXACTA *Ejercicio 51 subejercicios 20 y 22

Back 6

COCIENTE POR DEFECTO Y COCIENTE POR EXCESO
En una división entera o inexacta, el cociente exacto estaría comprendido entre dos números enteros consecutivos; al entero menor se lo llamaría cociente por defecto "c" y al entero mayor se lo llamaría cociente por exceso "c+1".

DIVIDENDO / DIVISOR = COCIENTE POR DEFECTO < COCIENTE EXACTO < COCIENTE POR EXCESO

Ejemplo
teniendo 9/4
cociente por defecto 2, cociente por exceso 3, luego el cociente exacto estaría comprendido entre esos dos números enteros consecutivos: 2,25.

COCIENTE POR DEFECTO * DIVISOR < DIVIDENDO
c * d < D

COCIENTE POR EXCESO * DIVISOR > DIVIDENDO
( c + 1 ) * d > D


RESIDUO POR DEFECTO
Una vez realizada la división con cociente por defecto, lo que falta hasta el dividendo. #Se pondría primero el dividendo porque se supondría que es mayor.#

RESIDUO POR DEFECTO = DIVIDENDO - ( DIVISOR * COCIENTE POR DEFECTO )
r = D - ( d * c )

Ejemplo
teniendo 9/4 el cociente por defecto sería 2
aplicando la fórmula r=9-(4*2)
resolviendo r=9-8=1


RESIDUO POR EXCESO
Una vez realizada la división con cociente por exceso, lo que sobra desde el dividendo). #Se pondría último el dividendo porque se supondría que es menor.#

RESIDUO POR EXCESO = DIVISOR * (COCIENTE POR DEFECTO + 1) - DIVIDENDO
r' = d * ( c + 1 ) - D

Ejemplo
teniendo 9/4 el cociente por exceso sería 3
aplicando la fórmula r'=4*(2+1)-9
resolviendo r'=4*3-9=12-9=3


SUMA DE RESIDUOS
La suma del residuo por defecto con el residuo por exceso resultaría igual a el divisor.

RESIDUO POR DEFECTO + RESIDUO POR EXCESO = DIVISOR
r + r' = d

Ejemplo
teniendo 9/4
calculando residuo por defecto 9-2*4=1
calculando residuo por exceso 3*4-9=3
sumando residuos 1+3=4=divisor


TRANSFORMACIÓN DE DIVISIÓN INEXACTA A DIVISIÓN EXACTA
Al dividendo debe restársele el residuo por defecto o sumársele el residuo por exceso.

DIVIDENDO - RESIDUO POR DEFECTO = DIVIDENDO MÚLTIPLO DEL DIVISOR
DIVIDENDO + RESIDUO POR EXCESO = DIVIDENDO MÚLTIPLO DEL DIVISOR

Ejemplo
teniendo la división inexacta 9/4
calculando residuo por defecto 9-2*4=1
transformando dividendo 9-1=8
verificando que el dividendo sea múltiplo del divisor 8/4=2
calculando residuo por exceso 3*4-9=3
transformando dividendo 9+3=12
verificando que el dividendo sea múltiplo del divisor 12/4=3

Front 7

DIVISIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS *178

Back 7

Se separan con una coma de la derecha del número, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplo
56780/100=567,80

Front 8

LEYES DE LA DIVISIÓN *181 *193

Back 8

LEY DE UNIFORMIDAD
1) El cociente entre dos números siempre tendría un mismo resultado.

Ejemplo
20/5=4 siempre

2) Dividiendo en ambos miembros de una igualdad, otra igualdad, resultaría otra igualdad.

A = B
C = C
A / C = B / C

Ejemplo
considerando 5+3=8
y 4=4
aplicando ley de uniformidad (5+3)/4=8/4
verificando 2=2


LEY DE MONOTONÍA
1) Si una desigualdad se divide con una igualdad, queda el sentido de la desigualdad.

A > B
C = C
A / C > B / C

Ejemplo
6>4
2=2
6/2>4/2
3>2

2) Si una desigualdad se divide con otra desigualdad de sentido contrario, queda la desigualdad en el sentido de la primera desigualdad.

A > B
C < D
A / C > B / D

Ejemplo
9>8
3<4
9/3>8/4
3>2

3) Si una igualdad se divide con una desigualdad, queda invertida la desigualdad.

A = A
B > C
A - B < A - C

Ejemplo
3=3
2>1
3-2<3-1

4) Si se dividen desigualdades del mismo sentido, el resultado no podría anticiparse.


LEY DISTRIBUTIVA respecto de la suma y la resta
Se divide cada término entre el divisor, anteponiéndole un signo + si tanto el término como el divisor tienen signos iguales o un signo - si tienen signos desiguales.

( A +- B ) / C = A / C +- B / C

Ejemplo
considerando (12-8)/4=1
dividiendo cada término con el divisor 12/4-8/4=1
resolviendo 3-2=1
verificando 1=1

###solo aplicaría con el divisor###


LEY DISTRIBUTIVA respecto de la multiplicación
Se divide sólo uno de los factores entre el divisor.

( A * B ) / C = A / C * B

Ejemplo
considerando (6*5)/2=15
distribuyendo (6/2)*5=15
resolviendo 3*5=15
verificando 15=15

###solo aplicaría con el divisor###


LEY ASOCIATIVA respecto a divisores
Siempre que un número este siendo dividido entre un divisor y luego entre otro divisor, ambos divisores pueden multiplicarse para luego ese producto dividir al dividendo original.

A / B / C = A / ( B * C )

Ejemplo
(10/5)/2=10/(5*2)


LEY CONMUTATIVA respecto a divisores
Siempre que un número este siendo dividido entre un divisor y luego entre otro divisor, ambos divisores pueden intercambiarse.

A / B / C = A / C / B

Ejemplo
10/5/2=10/5/2

##si hay mas de un dividendo esto no se puede hacer. Ejemplo: si es (10/5)/2 se puede intercambiar pero si es 10/(5/2) no se puede intercambiar porque el cinco es otro dividendo.##

Front 9

SUPRESIÓN DE FACTORES Y DIVISORES *185 *186

Back 9

Siempre que en cualquier expresión, un número aparezca al mismo tiempo como factor y como divisor, puede suprimirse sin que la expresión se altere.

A * B / B = A

Ejemplo
(20/5)*5=20
20=20

Front 10

PASAJE DE TÉRMINOS

Back 10

PASAJE DEL DIVIDENDO
Un dividendo pasa al otro miembro como dividendo.

A / B = C / D pasaje de término B = A / ( C / D)

Ejemplo
50/5=20/2 pasaje de término 5=50/(20/2)

##todo lo que esta en el miembro que recibe, divide al nuevo dividendo##


PASAJE DEL DIVISOR
Un divisor pasa al otro miembro multiplicando.

A / B = C pasaje de término A = C * B

Ejemplo
50/5=10 pasaje de término 50=10*5