Statistic Distributions Essay

2875 Words Nov 11th, 2012 12 Pages
iΟι Κατανομές χ2, t και F

Οι Κατανομές χ2, t και F
Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κατανομές οι οποίες, όπως και η κανονική κατανομή, είναι πολύ χρήσιμες στη Στατιστική Συμπερασματολογία. Είναι αξιοσημείωτο, ότι και οι τρεις έχουν ως αφετηρία την κανονική κατανομή1. Πρόκειται για την κατανομή χ 2 (διαβάζεται χι τετράγωνο), την κατανομή t και την κατανομή F. Γιατί οι τρεις αυτές κατανομές, είναι χρήσιμες στη Στατιστική Συμπερασματολογία, θα γίνει εύκολα κατανοητό όταν στα επόμενα μιλήσουμε για τις στατιστικές συναρτήσεις (δειγματοσυναρτήσεις) και το ρόλο τους στις συμπερασματικές στατιστικές διαδικασίες. Παρατηρείστε στον ορισμό αυτών των κατανομών, που δίνουμε στη συνέχεια, ότι πρόκειται για κατανομές
…show more content…
+ Z n ονομάζεται κατανομή χι-τετράγωνο με n βαθμούς ελευθερίας και συμβολίζεται 2 με χ n .

Είναι προφανές ότι πρόκειται για οικογένεια κατανομών. Για κάθε τιμή του n παίρνουμε και μια άλλη κατανομή χι-τετράγωνο. Είναι επίσης προφανές ότι μια 2 τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί μια χ n κατανομή δεν παίρνει αρνητικές τιμές. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας 2 2 2 της X = Z12 + Z 2 + ... + Z n ~ χ n για διάφορες τιμές του n.

1

Φυσικά, δε μας κάνει εντύπωση! 93

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

Οι Κατανομές χ2, t και F

2 Αποδεικνύεται ότι η μέση τιμή της χ n είναι ίση με n και η διασπορά της είναι ίση με
2 2 ⋅ n . Δηλαδή, αν X ~ χ n τότε E ( X ) = n και V ( X ) = 2 ⋅ n .

Παρατηρείστε στο παραπάνω σχήμα ότι όσο το n αυξάνεται τόσο η γραφική 2 παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας της χ n γίνεται πιο συμμετρική. Για n > 30 , προσεγγίζεται πολύ ικανοποιητικά από την κανονική N (n, 2n) .

Όπως θα διαπιστώσουμε στα επόμενα, στη Στατιστική Συμπερασματολογία μάς είναι 2 χρήσιμα τα άνω α -ποσοστιαία σημεία της χ n τα οποία έχει επικρατήσει να
2 2 συμβολίζονται με χ n;α ή με χ n (α ) . Όπως φαίνεται και στο σχήμα που ακολουθεί, αν 2 2 μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή χ n , δηλαδή αν X ~ χ n

Related Documents