Aritmética 21 Máximo Común Divisor

Front 1

MCD MÁXIMO COMÚN DIVISOR *308

Back 1

El mayor número que divide a todos exactamente.

Ejemplo
considerando a 18 y 24
identificando a divisores comunes 2, 3 y 6
concluyendo que el máximo común divisor sería 6

Front 2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR MEDIANTE INSPECCIÓN *309

Back 2

Si el menor de los números no es de por sí ya el máximo común divisor, se lo divide entre dos. Si se continúa sin éxito, se intenta en forma decreciente con el resultado de dividirlo entre dos.

Ejemplo
considerando 15, 20 y 30
observando que el número menor no sería el máximo común divisor
dividiendo el número menor entre dos 15/2=7,5
concluyendo que el cociente del número menor dividido entre dos no sería el máximo común divisor
intentando con los números consecutivos en forma descendente a 7: 6, 5
concluyendo que 5 al dividir a todos sería el maxímo común divisor

Front 3

MÁXIMO COMÚN DIVISOR MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS *320 (RECOMENDABLE)

Back 3

Descomponer los números en factores primos. El máximo común divisor se forma con el producto de los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparezcan.

Ejemplo
considerando 1800=2³*3²*5², 420=2²*3*5*7, 1260=2²*3²*5*7 y 108=2²*3³
los factores comunes a los tres números serían el 2 y el 3
el menor exponente que tendrían cada uno serían 2² y 3¹
aplicando regla 2²*3=12
concluyendo máximo común divisor para 1800, 420, 1260 y 108=12

Front 4

MÁXIMO COMÚN DIVISOR MEDIANTE DIVISIONES SUCESIVAS *312 *315 (OBSOLETO)

Back 4

Dividir el mayor de los números entre el menor. Si la división resultara exacta, se consideraría al menor como el máximo común divisor. Si la división resultara inexacta, dividir el divisor entre el primer residuo, dividir el primer residuo entre el segundo residuo, y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor sería el máximo común divisor.
Para más de dos número continuar con el máximo común divisor hallado y dividirlo entre otro número, y así sucesivamente hasta operar todos los números.

Ejemplo
considerando a 2227 y 2125
dividiendo 2227/2125=1 residuo 102
dividiendo 2125/102=20 residuo 85
dividiendo 102/85=1 residuo 17
dividiendo 85/17=5 sin residuo
concluyendo 17 sería el máximo común divisor

Front 5

MÁXIMO COMÚN DIVISOR MEDIANTE MÉTODO ABREVIADO *321 (DESACONSEJABLE)

Back 5

Dividir los números entre un mismo divisor hasta que los cocientes sean primos entre sí. Luego multiplicar los divisores.

Ejemplo
considerando a 208, 910 y 1690
dividiendo entre dos 208/2=104, 910/2=455 y 1690/2=845
dividiendo entre trece 208/13=8, 910/13=35 y 1690/13=65
considerando que los cocientes son primos entre si
multiplicando los divisores 2*13=26
concluyendo el máximo común divisor para 208, 910 y 1690=26

Front 6

DIVISORES COMUNES

Back 6

Hallar el máximo común divisor y luego hallar los factores simples y compuestos.

Ejemplo
considerando a 180 y a 252 con máximo común divisor 36
hallando factores simples y compuestos
1 2 4
______
3 6 12
9 18 36
concluyendo factores comunes a 180 y 252= 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18 y 36

Front 7

TEOREMA 1 *311

Back 7

El máximo común divisor del dividendo y el divisor de una división inexacta sería igual al máximo común divisor del divisor y el residuo.

MCD de A / B = MCD de B / RESIDUO

Ejemplo
considerando a 350/80=4+residuo 30
obteniendo máximo común divisor entre 350 y 80 =10
observando que el máximo común divisor entre 80 y 30 también resulta en 10

Front 8

!TEOREMA 2 *313 *316

Back 8

Todo divisor de varios números dividiría a su máximo común divisor.

Ejemplo
considerando a 80 y 60 y su máximo común divisor 20
obteniendo divisores comunes entre 80 y 60 = 2, 4, 5 y 10
concluyendo 20 sería divisible entre 2, 4, 5 y 10

Front 9

!TEOREMA 3 *314 *317

Back 9

Si se multiplican o dividen varios números por un mismo número, su máximo común divisor quedaría multiplicado o dividido por el mismo número.

Si A * C y B * C entonces MCD entre A y B * C

Ejemplo
considerando a 80 y 24 y su máximo común divisor 8
multiplicando por tres 80*3=240 y 24*3=72
obteniendo el máximo común divisor entre 240 y 72 =24
concluyendo que 8*3=24

Front 10

TEOREMA 4 *318

Back 10

Si se divide cada número entre su máximo común divisor entonces resultan cocientes primos entre sí.

Si A / MCD = C y B / MCD = D entonces C es primo entre sí con D

Ejemplo
considerando a 30, 45 y su máximo común divisor 15
dividiendo cada número entre su máximo común divisor 30/15=2 y 45/15=3
concluyendo 2 y 3 serían primos entre sí

Front 11

AHORRADOR DE TIEMPO EN MÁXIMO COMÚN DIVISOR *315 observación

Back 11

Si alguno de los números es múltiplo de otro, se tiene en cuenta solo el número menor.

Ejemplo
Hallar el máximo común divisor de 529, 1058, 690 y 2070. Como 1058 sería múltiplo de 529, sólo tenemos en cuenta el número menor 529 y como 2070 sería múltiplo de 690, sólo tenemos en cuenta el número menor 690.