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27 Cards in this Set
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- 3rd side (hint)
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Reflexion |
R ≥AxB: xRx fa x € A |
Jedes Element der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation R |
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Irreflexivität |
R ≥AxB: (x, x) €≠ R fa x € A |
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Symmetrie |
R ≥AxB: xRy → yRx |
Steht x mit y in Relation, dann muss auch y mit x in Relation stehen |
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Asymmetrie |
R ≥AxB: xRy → ¬ yRx |
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Antisymmetrie |
R ≥AxB: xRy ^ yRx → x=y |
Steht x mit y in Relation und y mit x, dann muss notwendigerweise x=y sein |
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Transitivität |
R ≥AxB: xRy ^ yRz →xRz |
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Injektivität / linkseindeutig |
R ≥AxB: x¹Ry¹ ^ x²Ry² ^ x¹≠x² → y¹≠y² xRy¹ ^ xRy² → y¹=y² |
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Rechtseindeutigkeit / funktion |
R ≥AxB: x¹Ry¹ ^ x²Ry² ^ y¹≠y² → x¹≠x² x¹Ry ^ x²Ry → x¹=x² |
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Linkstotal / total |
R ≥AxB: fa x € A ex y € B mit xRy |
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Rechtstotal / surjektiv |
R ≥AxB: fa y € B ex x € A mit xRy |
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Bijunktion |
R ≥AxB: total, injektiv und surjektiv |
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Äquivalenz |
R ≥AxB: reflexiv, symmetrisch und transitiv |
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Partiele Ordnung / Ordnung |
R≤AxA: reflexiv, antisymmetrisch und transitiv |
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Vergleichbare Ordnung |
(A, R), x,y € A: xRy or yRx |
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Unvergleichbare Ordnung |
(A, R), x,y € A: ]xRy ^ ]yRx |
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Minimales Element in Ordnung |
(A, R), x,y € A. : xRy fa y€B B≤A, B≠∅, x€B |
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Maximales Element in Ordnung |
(A, R), x,y € A : yRx fa y€B B≤A, B≠∅, x€B |
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Kette in Ordnung |
(A, R), x,y € A : fa x,y € K K≤A, K≠∅ x,y - vergleichbar |
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Totale / Lineare Ordnung |
(A, R): A bildet eine Kette |
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Wohlordnung |
(A, R) total: fa K≤A, K≠∅ ein min. Element besitzt |
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Äquivalenzklasse von R |
R≤AxA, x€A: [x]R = {y€A | xRy} |
Die Menge aller Elemente von A, mit denen x in der Beziehung steht |
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Repräsentant |
x (aus xRy) - Repräsentant der Äquivalenzklasse [x]R = {y€A|xRy} |
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Index von R |
Die Anzahl der Äquivalenzklassen von R |
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Sei R≤AxA, A≠∅ eine Äquiv.relat., dann gilt: |
• fa x€A [x]R ≠∅ • fa y€[x]R gilt [x]R = [y]R • (x, y)€≠R → [x]R ds [y]R = ∅ • x, y € A : [x]R = [y]R XOR [x]R ds [y]R = ∅ • A = Ux€A [x]R |
• ÄK sind niemals leer • Jedes Element einer ÄK kann als ihr Repräsentant gewählt werden. ÄK sind unabhängig von ihren Repräsentanten. • ÄK nicht in Relation stehender Repräsentanten sind disjunkt • zwei Elemente aus der Grundmenge einer ÄR repräsentieren entweder dieselbe oder zwei disjunkten ÄK • ÄK bilden eine Überdeckung von A |
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Feinste Partion von ÄR |
id A : [x]R = {x} fa x€A |
Die identische Relation legt die feinste Partion von A fest, denn jedes Element bildet genau eine ÄK |
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Gröbste Partion von ÄR |
R = AxA : [x]R = A fa x€A |
Die vollständige Relation legt die gröbste Partion auf A fest, denn es gibt genau eine ÄK für alle x aus A |
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Umkehrrelation |
R≤AxB : R-¹ ≤ BxA ::= yR-¹x <=> xRy R-¹ = {(y, x)€BxA | (x, y)€R} R rechrseind. <=> R-¹ linkseind. R bijektiv <=> R-¹ bijektiv R ist ÄR über A <=> R-¹ auch R ist ÄR <=> R=R-¹ |
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