Algebra 00 Preliminares

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ÁLGEBRA *1

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Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

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DIFERENCIA ENTRE EL ÁLGEBRA Y LA ARITMÉTICA *2

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En aritmética las cantidades se representan por números, y éstos expresan valores determinados. Así 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20.
En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no debe representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

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NOTACIÓN ALGEBRAICA *3 *4

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NÚMEROS
Se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.


LETRAS
Se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas (se utilizan las primeras letras del abecedario: a, b, c...) o desconocidas (se utilizan las últimas letras del abecedario: ..., x, y, z).
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a', a'', a''', que se leen "a prima", "a segunda", "a tercera", o también por medio de subíndices; por ejemplo: a₁, a₂, a₃, que se leen "a subuno", "a subdos", "a subtres".


FÓRMULA ALGEBRAICA
Es la representación por medio de letras, de una regla o principio general.

Ejemplo
El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura A=b*h. Esta fórmula algebraica representará el área de cualquier rectángulo.

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SIGNOS DE OPERACIÓN *5 *6

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SUMA
Es el signo + que se lee "más".


RESTA
Es el signo - que se lee "menos".


MULTIPLICACIÓN
Es el signo * que se lee "por". También puede emplearse un punto u omitirse entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal, ejemplo: 5xy equivale a 5*x*y.


DIVISIÓN
Es el signo / que se lee "dividido". También puede emplearse una raya horizontal que separe al dividiendo o numerador del divisor o denominador.


POTENCIA
El signo es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. Así a³=a*a*a. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. Así am5 equivale a a¹m¹5¹


RAÍZ
El signo de la raíz es √ llamado signo radical, bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. Así, √a equivale a raíz cuadrada de a, osea la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad a.

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COEFICIENTE *7

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En el producto de factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente de los demás.

Ejemplo
En el producto 5a, 5 es el coeficiente de a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces 3a=a+a+a.


Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente invisible es la unidad.

Ejemplo
Teniendo b, el coeficiente numérico seria 1 lo que equivaldría a 1b o 1*b.

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SIGNOS DE RELACIÓN *8

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Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:
= que se lee "igual a"
> que se lee "mayor que"
< que se lee "menor que"

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SIGNOS DE AGRUPACIÓN *9

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Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario (), el corchete [], las llaves {} y la barra o vínculo ---------.
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.

Ejemplo
(a+b)c indica que primero debe sumarse y luego al resultado multiplicarlo por c.

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VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO *14

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VALOR ABSOLUTO
Es el número que representa la cantidad. Se representa colocando el número entre dos lineas verticales, así: |8|.

Ejemplo
El valor absoluto de -8 es 8 y el valor absoluto de +8 es 8.


VALOR RELATIVO
Es el sentido de la cantidad representado por el signo.

Ejemplo
El valor relativo de -8 es - y el valor relativo de +8 es +. En álgebra los signos + y - tienen dos aplicaciones: una indicar las operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido de las cantidades.

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SERIE ALGEBRAICA DE LOS NÚMEROS *16

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Teniendo en cuenta que el 0 en álgebra es la ausencia de la cantidad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0, y que las distancias mediadas hacia la derecha de un punto se consideran positivas y hacia la izquierda de un punto negativas, la serie algebraica de los números se puede representar de este modo:

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NOMENCLATURA ALGEBRAICA *17 *18 *19 *20

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EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Ejemplo
a, 5x, √4a, (a+b)c son expresiones algebraicas.


TÉRMINO
Es una expresión algebraica que no está separada por el signo + o -.

Ejemplo
a, 3b 2x/5y son términos porque no están separados por signos + ni por signos -.

Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Cuando un término va precedido de un signo menos, se puede suponer que es un uno negativizado que actúa como factor.

Ejemplo
-3a equivale a -1*3*a


GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO
Es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Ejemplo
El término ab es de segundo grado absoluto porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1+1=2.


GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA
Es el exponente de dicha letra.

Ejemplo
bx³ es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x.


CLASES DE TÉRMINOS
Término entero: no tiene denominador literal como 5a.
Término fraccionario: tiene denominador literal como 3a/b.
Término racional: no tiene radical como 5a o 3a/b.
Término irracional: tiene radical como √ab.
Términos homogéneos: tienen el mismo grado absoluto como 4x³z y 3z²w².
Términos heterogéneos: tienen distinto grado absoluto como 3a y 5a².

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CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS *21 *22 *23 *24 *25 *26 *27 *29 *30

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MONOMIO
Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

Ejemplo
3a, -5b, x²y/an³


POLINOMIO
Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Binomio es un polinomio que consta de dos términos. Trinomio es un polinomio que consta de tres términos.

Ejemplo
Un polinomio de tres términos o trinomio a+b-7


GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO
Es el grado del término de mayor grado.

Ejemplo
x²-5a³+2 es un polinomio de tercer grado porque el grado del término de mayor grado es 3.


GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA
Es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Ejemplo
a²+a²x¹-ax³ el polinomio es de tercer grado con relación a la x y de segundo grado con relación a la a.


CLASES DE POLINOMIOS
Polinomio entero: ninguno de sus términos tiene denominador literal como x² + 5x - 6.
Polinomio fraccionario: alguno de sus términos tiene letras en el denominador como a²/b + b/2 - 8.
Polinomio racional: no contiene radicales como en los ejemplos anteriores.
Polinomio irracional: contiene radical como √a+√b.
Polinomio homogéneo: todos sus términos son del mismo grado absoluto como 4a³+5a²b+6ab²+b³.
Polinomio heterogéneo: sus términos no son del mismo grado como x³+x²+x-6
Polinomio completo con relación a una letra: contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo. Ejemplo: a³b+a²b²-ab³ es completo respecto de a y b.
Polinomio ordenado con respecto a una letra: los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. Ejemplo: 4x³-2x²-5x+8 está ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz x.


TÉRMINO INDEPENDIENTE
Es el término que no tiene cierta letra. El término independiente con relación a una letra puede considerarse que tiene esa letra con exponente cero.

Ejemplo
En el polinomio a³-a²+3a-5 el término independiente con relación a la a es 5, porque no tiene a o la tiene pero con exponente 0; así el término independiente es -5a° que es igual a -5*1 que es igual a -5


TÉRMINOS SEMEJANTES
Tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

Ejemplos
2a-5a son semejantes porque tienen ambos términos la letra a elevada a la potencia 1.
4ab-6a²b no son semejantes porque aunque ambos términos tienen las mismas letras, éstas no están elevados a las mismas potencias.


VALOR NUMÉRICO
Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y efectuar después las operaciones indicadas.

Ejemplo
Hallar el valor numérico de 5ab para a=1, b=2. Entonces sustituimos 5*1*2=10. 10 es el valor numérico de esta expresión algebraica.

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NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NÚMERO

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NÚMERO ENTERO
Expresan el cociente de una división exacta.

Ejemplo
5/5=1 número entero. 8/4=2 número entero.


NÚMERO FRACCIONARIO
Surge de la necesidad de medir magnitudes continuas como la longitud, el volumen, el peso. Nos permiten expresar el cociente de una división inexacta, o lo que es lo mismo, una división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor.

Ejemplo
2/3=0,666... número fraccionario


NÚMERO RACIONAL
Conjunto de números enteros y fraccionarios. Es todo número que puede expresarse como cociente de dos enteros.

Ejemplo
5/6=0,8333 es un número fraccionario, por lo tanto racional.


NÚMERO IRRACIONAL
No puede expresarse como el cociente de dos números.

Ejemplo
Circunferencia/diámetro=Pi=3,14159... este número es aproximado, no es el cociente real ya que por sus infinitas cifras no periódicas, no puede expresarse como el cociente de dos números.


NÚMEROS NEGATIVOS
Surgen de la necesidad de restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor, haciendo posible así, la resta en todos los casos. Sirven para representar magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos como por ejemplo la temperatura.


CERO
Expresión de un conjunto nulo o vacío, conjunto que carece de elementos. Además el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo.

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AXIOMAS FUNDAMENTALES

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IGUALDAD
Identidad
A = A

Reciprocidad
Si A = B entonces B = A

Transitividad
Si A = B y B = C entonces A = C


ORDEN
Tricotomía
Entre dos números reales A y B sólo puede haber una relación entre ambos A = B, A > B o A < B.

Monotonía de la suma
Si A > B entonces A + C > B + C

Monotonía de la multiplicación
Si A > B y C > 0 entonces A * C > B * C


CONTINUIDAD
Entre dos números reales cualesquiera siempre hay otro número real.

Ejemplo
Entre 4 y 5 está el 4,5. Entre el 4,1 y el 4,2 está el 4,19.


SUMA
Uniformidad
Si a una igualdad A=B se suma en cada miembro un mismo número A+3=B+3, la igualdad se mantiene.

Conmutatividad
A + B = B + A

Asociatividad
( A + B ) + C = A + ( B + C )

Identidad o módulo
A + 0 = A para cualquier valor de a.


MULTIPLICACIÓN
Uniformidad
Si a una igualdad A = B se multiplica en cada miembro un mismo número A * 3 = B * 3, la igualdad se mantiene.

Conmutatividad
A * B = B * A

Asociatividad
( A * B ) * C = A * ( B * C )

Distributividad (respecto a la suma y a la resta)
La multiplicación distribuye a la suma y a la resta A * ( B + C ) = A * B + A * C

Identidad o múdulo
A * 1 = A para cualquier valor de a.

Inverso multiplicativo
A * 1/A = 1
Para todo número real A (distinto de cero) existe un número real 1/A de forma tal que multiplicados uno con el otro resulten igual a 1. Tiene el mismo signo.

Ejemplo
El inverso de 4 es 1/4 ambos con el mismo signo positivo y multiplicados 4 * 1/4 =1.

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OPERACIONES FUNDAMENTALES

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SUMA Y RESTA
Sólo se pueden sumar o restar términos semejantes.

Ejemplo
5a se puede sumar con 2a pero no con 3b ni con 2ab.

OPUESTO
Opuesto de un número es el mismo número con signo contrario.

Ejemplo
El opuesto de 4 es -4 y el opuesto de -3 es +3.


POTENCIA
La potencia siempre es positiva, salvo que la base sea negativa y el exponente sea impar.

Ejemplo
La potencia de 5³=125 es positiva pero la potencia de -5³=-125 es negativa.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Se suman los exponentes.

Aⁿ * Aⁿ' = Aⁿ+ⁿ'

Ejemplo
3²*3³=3²+³=3⁵

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Se restan los exponentes.

Aⁿ / Aⁿ' = Aⁿ-ⁿ'

Ejemplo
3³/3²=3³-²=3¹=3

POTENCIA DE UNA POTENCIA
Se multiplican los exponentes.

( Aⁿ )ⁿ' = Aⁿ*ⁿ'

Ejemplo
(-2²)³=-2⁶

BASE ELEVADA AL EXPONENTE 0
Cualquier número (excepto el 0) elevado al exponente 0 es igual a 1.

A° = 1

Ejemplo
3°=1

BASE ELEVADO A UN NÚMERO NEGATIVO
Cualquier número (excepto el 0) elevado a un exponente negativo es igual al inverso de la potencia.
A-ⁿ = 1/Aⁿ

Ejemplo
3-²=1/3²


RADICACIÓN
Toda raíz con índice par de un número positivo tiene un resultado positivo y otro negativo.

²√A = A o -A

Ejemplo
√4=2 porque 2*2=4 y √4=-2 porque -2*-2=4.